 | 2011/11/13(Sun) 00:22:58 編集(投稿者)
質問ではなく添削をして頂きたいのですが、過日この掲示板で次の問題について
質問させていただきました。
>問題2：任意の実数x,yに対して、kとmを実数定数としたとき、
>k(|x|+|y|)≦√(x^2+y^2)≦m(|x|+|y|)が成立するようなkの最大値とmの最小値
>を求めよ。
>問題2解説：少なくとも(x,y)＝(1,1),(1,0)の時にも与式は成立することが必要な
>のでこれよりk≦√2/2、m≧1を出して、その後は十分性を示して終わり。
以前の私の希望は「(x,y)＝(1,1),(1,0)の発想がどこから出てくるのか」という
ことでした。そこで私なりに考え、次のような解法を考えたのですが、これを
正解としてもよいのかどうかについて質問させていただきます。
my解答：
rを正の実数、θを任意の実数とする時、r*cosθ及びr*sinθも任意の実数を表す。
x＝r*cosθ,y＝r*sinθとして、与えられた不等式に代入する。ここで、
r＝0としたときは自明の式となるので、以後r≠0とする。すると
k(|cosθ|+|sinθ|)≦1≦m(|cosθ|+|sinθ|)・・・・・・★
となる。ここで、任意の実数nを用いて、関数f(θ)＝n(|cosθ|+|sinθ|)
のグラフを考える。するとf(θ)は任意のθにおいて、最大値を√2n、最小値をn
としてとる関数ということが分かる（マクドナルドマークを連続させたような
グラフになるかと思います。）
n＝k,m（k≦n≦m）の場合のf（θ）と、f(θ)＝1の3つのグラフをそれぞれ同座標
平面上に図示したとき、★の不等式を満たすためにはn＝kの時の最大値√2kが
1以下である必要があり、更にn＝mの時の最小値mが1以上でなければならない。
よってk≦1/√2、m≧1となることが必要である。逆にこのとき★の不等式は成立
する（終）
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