数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 面積の比 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■44189 / inTopicNo.1)

　面積の比

□投稿者/ n 一般人(4回)-(2011/10/21(Fri) 15:17:59)

お世話になります。

点Ｐを、曲線 $2$y=x^3$ 上の第一象限にある点とする。この曲線と点Ｐにおける接線で
囲まれる図形のうち、ｘ軸より上方にある部分の面積をＳ１、下方にある面積をＳ２
とするとき、比Ｓ１：Ｓ２は、Ｐの位置に関係なく一定であることを示せ。

という問題なのですが、解き方がわからず困っています。
どなたか詳しく教えて頂けるとありがたいのですが・・・
よろしくお願いいたします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44190 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(37回)-(2011/10/21(Fri) 22:44:11)

■No44189に返信(nさんの記事)
>解き方がわからず困っています。

積分を使って面積を求める方法は知っていますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44193 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(5回)-(2011/10/21(Fri) 23:18:10)

ご返信頂きありがとうございます。
＞積分を使って面積を求める方法は知っていますか？
はい。知っています。
Ｓ１は $2$\frac{3}{4}p^4$ と計算できたのですが、Ｓ２がわかりません。
ですので題意が示せず困っています。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44194 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2011/10/22(Sat) 02:13:43)

S1は $2$\frac34p^4$ にはなりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44195 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(6回)-(2011/10/22(Sat) 13:46:58)

■No44194に返信(らすかるさんの記事)
> S1は $2$\frac34p^4$ にはなりません。
ご指摘いただきありがとうございます。
・ $2$y=x^3$ 上の点 $2$(p,p^3)$ における接線の方程式は $2$y=3p^2x-2p^3$ なので
Ｓ１＝∫[0→p] $2$(x^3-(3p^2x-2p^3))dx=\frac{3}{4}p^4$ のように計算いたしましたが、
何が間違っているのかわかりません。
もしよろしければ教えて頂けると助かるのですが・・・・。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44196 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(39回)-(2011/10/22(Sat) 13:58:57)

2011/10/22(Sat) 13:59:54 編集(投稿者)

■No44195に返信(nさんの記事)
> 何が間違っているのかわかりません。
> もしよろしければ教えて頂けると助かるのですが・・・・。

面積を求める部分が間違っています。
全く関係のない場所の面積を求めてしまっています。
$2$S_{1}$ はどこの面積かもう一度確認しましょう。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44197 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(7回)-(2011/10/22(Sat) 15:09:07)

ご返信いただきありがとうございます。
Ｓ１がｘ軸より上方にある部分の面積であることはわかっているのですが、
前述の私の計算が間違いならば、どのように計算してよいかわかりません。
ご助力いただけるとありがたいのですが・・・・。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44199 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(41回)-(2011/10/22(Sat) 15:23:48)

■No44197に返信(nさんの記事)
> Ｓ１がｘ軸より上方にある部分の面積であることはわかっているのですが、
> 前述の私の計算が間違いならば、どのように計算してよいかわかりません。

あなたが求めた面積は、下の図で赤く塗った部分の面積です。

649×649 => 250×250

1319264628.gif/5KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44200 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(8回)-(2011/10/22(Sat) 16:15:55)

ご返信ありがとうございます。
S1=∫[0→p] $2$x^3dx-\frac{1}{2}(p-\frac{2}{3}p)p^3=\frac{1}{4}p^4-\frac{1}{6}p^4 =\frac{1}{12}p^4$
となりました。
グラフまで描いていただきありがとうございました。
よろしければ、引き続き題意の示し方をご教示頂けるとありがたいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44201 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2011/10/22(Sat) 16:45:04)

接線とy=x^3の接点でない方の交点のx座標を求めれば
S2=∫[そのx座標～p](x^3-(3p^2x-2p^3))dx - S1
ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44202 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(42回)-(2011/10/22(Sat) 16:46:49)

■No44200に返信(nさんの記事)
> よろしければ、引き続き題意の示し方をご教示頂けるとありがたいと思います。
>

$2$S_{2}$ は、この曲線と点Pにおける接線で囲まれる図形の面積から、 $2$S_{1}$ を引けばいいですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44203 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(9回)-(2011/10/22(Sat) 17:57:17)

皆様ご返信ありがとうございます。

$2$x^3-3p^2x-2p^3=0$ より、 $2$(x-p)(x^2+px-2p^2)=0, (x-p)^2(x+2p)=0$
よって $2$x=p,-2p$
$2$S=S1+S2$ とおくと、 $2$S=$ ∫[-2p→p] $2$(x^3-(3p^2x-2p^3))dx=\frac{81}{12}p^4$
したがって $2$S2=S-S1=\frac{80}{12}p^4$
これより $2$S1:S2=\frac{1}{12}p^4:\frac{80}{12}p^4=1:80$
よって題意は示された。

・・・これで合っているでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44204 / inTopicNo.13)

　Re[11]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2011/10/22(Sat) 17:58:50)

はい、正解です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44205 / inTopicNo.14)

　Re[12]: 面積の比

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(10回)-(2011/10/22(Sat) 18:00:44)

皆様本当にありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター