 | 重ねて質問すみません。しかしどうしても伺いたかったのでご容赦ください。
最近の中間試験で出題された問題で、その模範解答が大変難しく悩んでおります。
問題1：0以上の任意の実数x,y,zに対して、x^2+y^2+z^2≧k(xy+yz+zx)が
成り立つようなkの条件を求めよ。
問題2：任意の実数x,yに対して、kとmを実数定数としたとき、
k(|x|+|y|)≦√(x^2+y^2)≦m(|x|+|y|)が成立するようなkの最大値とmの最小値
を求めよ。
問題1の解説には、「直接答えを出すのは難しいので、適当にx,y,zに値を代入して、それが正しいことを示せば良い」となっており、(x,y,z)＝(1,1,1)を代入し
て必要条件とし、k≦1と出して、その後これの十分性を示して終わっていました。
確かに、kが1ですと与えられた不等式の等号成立条件となっていて納得はいく
のですが、そもそもその(x,y,z)＝(1,1,1)の値を代入する発想はどこから来るの
でしょうか。読みが浅いので皆さんのお力を貸していただきたいです。
問題2も同様の解法で、「少なくとも(x,y)＝(1,1),(1,0)の時にも与式は成立する
ことが必要」なっており、k≦√2/2、m≧1を出して、その後は十分性を示して終
わっていました。これもどこから(x,y)＝(1,1),(1,0)の発想が出てくるのか見抜け
ません。グラフでも考えるのでしょうか。
以上2点につきまして、ヒントでも構いませんので教えてください。
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