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■44124 / inTopicNo.1)

　文字定数の満たす条件（大学受験数学）

□投稿者/ ゆう一般人(1回)-(2011/09/20(Tue) 00:31:51)

大学受験の問題です♪

受験雑誌の予備校の広告にて掲載されていた問題なのですが、

『aを正の定数とする。y=ax(x-2) (0<x<2)上に動点Pがある。
原点をOとして、線分OPの長さが常に2以下となるときaが満たす条件を求めよ。』

わたしは、
P(t,at(t-2)) ,(0<t<2)
とおきOP=2として2乗後、aとtの関係式を作り文字定数aを分離したところまでは良いのですが、4次式を含む分数式のため計算がものすごく複雑になります。

この方法しかないのでしょうか？
あるいはもっといい方法があるのでしょうか？

どなたかおわかりでしたらお答えいただけるうれしいです★

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■44127 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 文字定数の満たす条件（大学受験数学）

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□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2011/09/20(Tue) 01:58:52)

x^2+y^2=4 と y=ax(x-2) から yを消去して
重解を持つことを条件に計算すると、
少し楽に計算できるようです。

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■44128 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 文字定数の満たす条件（大学受験数学）

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□投稿者/ らぁ一般人(3回)-(2011/09/20(Tue) 02:26:41)

最後まで計算はしていないので、流れだけはしょって紹介。

$2$OP^2=f(t)$ とおいて、 $2$f'(t)$ の符号を調べることで $2$f(t)$ の増減つまり $2$OP$ の増減がわかります。

また、 $2$a$ に関わらず $2$f(2)=4$ 、つまり $2$OP=2$ です。

さらに、実際に計算すればわかりますが、 $2$f'(t)=0$ が $2$t=0$ 以外の異なる2実解をとる場合にのみ、 $2$f(t)\ge4$ となる可能性があり、 $2$f'(t)=0$ の解を $2$0,\,\alpha,\,\beta$ ( $2$\alpha\lt\beta$ )とすると、 $2$f(\alpha)$ が極大値となるため、

結局 $2$f(\alpha)\gt4$ となる範囲のみが、「線分OPの長さが常に2以下とな」らない場合となります。

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■44143 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 文字定数の満たす条件（大学受験数学）

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□投稿者/ ゆう一般人(2回)-(2011/09/24(Sat) 21:00:31)

>らすかるさん
有難うございました。
また今後もよろしくお願いします。

>らぁさん
有難うございました。
ちゃんと解答が書けたようです。

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