数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 組み合わせの証明 / Page: 0]

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■44119 / inTopicNo.1)

　組み合わせの証明

□投稿者/ Math70 一般人(1回)-(2011/09/19(Mon) 22:10:41)

$2$ 3$ 以上の自然数 $2$ n$ に対し、
　　 $2$ {}_3 \mathrm{C} _3 + {}_4 \mathrm{C} _3 + {}_5 \mathrm{C} _3 + \cdots + {}_n \mathrm{C} _3 = {}_{n + 1} \mathrm{C} _4$
が成り立つことを示せ。

これが分かりません。お願いします。

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■44122 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 組み合わせの証明

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□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2011/09/19(Mon) 23:09:10)

a[1]～a[n+1]のn個から4個選ぶ方法(n+1)C4通りを場合分けして考える。
a[1]が選ばれた場合：残りn個から3個選ぶのでnC3通り
a[1]が選ばれずa[2]が選ばれた場合：残りn-1個から3個選ぶので(n-1)C3通り
a[1]～a[2]が選ばれずa[3]が選ばれた場合：残りn-2個から3個選ぶので(n-2)C3通り
・・・
a[1]～a[n-5]が選ばれずa[n-4]が選ばれた場合：残り5個から3個選ぶので5C3通り
a[1]～a[n-4]が選ばれずa[n-3]が選ばれた場合：残り4個から3個選ぶので4C3通り
a[1]～a[n-3]が選ばれずa[n-2]が選ばれた場合：残り3個から3個選ぶので3C3通り
よって成り立つ。

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■44123 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 組み合わせの証明

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□投稿者/ らぁ一般人(2回)-(2011/09/19(Mon) 23:18:54)

2011/09/20(Tue) 19:15:33 編集(投稿者)

$2$n$ についての数学的帰納法で示します。

1) $2$\large n=3$ のとき、
左辺 $2$= \large{}_3\mathrm{C}_3 =1$
右辺 $2$= \large{}_4\mathrm{C}_4 =1$
となり、左辺 $2$=$ 右辺

2) $2$n=k$ ( $2$k$ は $2$3$ 以上の自然数)のとき、 $2$\large{}_3\mathrm{C}_3+\cdots+{}_n\mathrm{C}_3 = {}_{n+1}\mathrm{C}_4$ …★が成り立っていると仮定する。

このとき、
$2$\large{}_3\mathrm{C}_3+\cdots+{}_k\mathrm{C}_3+{}_{k+1}\mathrm{C}_3 = {}_{k+1}\mathrm{C}_4+{}_{k+1}\mathrm{C}_3$
$2$\large = \displaystyle\frac{(k+1)k(k-1)(k-2)}{4!}+\frac{(k+1)k(k-1)}{3!}$
$2$\large = \frac{(k+1)k(k-1)}{4!}(k-2+4)$
$2$\large = \frac{(k+2)(k+1)k(k-1)}{4!}$
$2$\large = \frac{(k+2)!}{4!\cdot(k-2)!}$
$2$\large = \frac{(k+2)!}{4!\cdot\{(k+2)-4\}!}$
$2$\large = {}_{k+2}\mathrm{C}_4$
となり、 $2$n=k+1$ のときも成り立つ。

1),2)より、 $2$3$ 以上のすべての自然数 $2$n$ についても、★はなりたつ。

■

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■44126 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 組み合わせの証明

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(30回)-(2011/09/20(Tue) 01:23:53)

2011/09/20(Tue) 01:26:17 編集(投稿者)

もはや蛇足の感がありますが…

コンビネーション記号の基本的な等式： $2$ \large {}_{n} \mathrm{C}_{r} = {}_{n-1} \mathrm{C}_{r} + {}_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}$

を使います。 $2$ \large r=4$ とすれば、

$2$ \large {}_{n} \mathrm{C}_{4} = {}_{n-1} \mathrm{C}_{4} + {}_{n-1} \mathrm{C}_{3}$

すなわち、

$2$ \large {}_{n-1} \mathrm{C}_{3} = {}_{n} \mathrm{C}_{4} - {}_{n-1} \mathrm{C}_{4}$

したがって、

$2$ \large {}_3 \mathrm{C} _3 + {}_4 \mathrm{C} _3 + {}_5 \mathrm{C} _3 + \cdots + {}_n \mathrm{C} _3 = ({}_{4} \mathrm{C}_{4} - {}_{3} \mathrm{C}_{4} ) + ( {}_{5} \mathrm{C}_{4} - {}_{4} \mathrm{C}_{4} ) + ( {}_{6} \mathrm{C}_{4} - {}_{5} \mathrm{C}_{4} ) + \cdots + ({}_{n+1} \mathrm{C}_{4} - {}_{n} \mathrm{C}_{4}) = {}_{n+1} \mathrm{C}_{4}$

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