数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 共通接線と面積 / Page: 0]

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■44100 / inTopicNo.1)

　共通接線と面積

□投稿者/ ｎ一般人(1回)-(2011/09/15(Thu) 16:01:02)

お世話になります。

２つの放物線 $2$y=2x^2-5x+2$ と $2$y=\frac{1}{8}x^2+2$ は原点を通る共通の接線をもつことを示し
この共通接線と2つの放物線で囲まれる図形の面積を求めよ。

という問題なのですが、特に共通接線の求め方がわかりません。
どなたか詳しく教えて頂けませんでしょうか。
よろしくお願いします。

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■44101 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 共通接線と面積

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□投稿者/ シャロン一般人(4回)-(2011/09/15(Thu) 18:02:30)

2011/09/15(Thu) 18:13:39 編集(投稿者)
2011/09/15(Thu) 18:13:31 編集(投稿者)

$2$f(x)=2x^2-5x+2$ 、 $2$g(x)=\frac{1}{8}x^2+2$ とおく。

$2$y=f(x)$ の $2$x=p$ における接線は、
$2$y-f(p)=f^\prime(p)(x-p)$
$2$y-(2p^2-5p+2)=(4p-5)(x-p)$
これが原点を通過するので、
$2$p=\pm1$
このとき、接線の傾きは、 $2$4p-5=-1,\,-9$ から $2$y=f(x)$ の接線のうち原点を通るものは $2$y=-x$ と $2$y=-9x$

同様に、 $2$y=g(x)$ の $2$x=q$ における接線は、
$2$y-g(q)=g^\prime(q)(x-q)$
$2$y-(\frac{1}{8}q^2+2)=(\frac{1}{4}q)(x-q)$
これが原点を通過するので、
$2$q=\pm4$
このとき、接線の傾きは、 $2$\frac{1}{4}q=\pm1$ から $2$y=g(x)$ の接線のうち原点を通るものは $2$y=-x$ と $2$y=x$

したがって、原点を通る共接線 $2$y=-x$ が存在する。

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■44102 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 共通接線と面積

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□投稿者/ ｎ一般人(2回)-(2011/09/15(Thu) 18:53:01)

とてもよくわかりました。
面積のほうは自力で出せそうです。
詳しく教えてくださり本当にありがとうございました。

解決済み!

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