数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 関数の最小値 / Page: 0]

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■44039 / inTopicNo.1)

　関数の最小値

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(12回)-(2011/08/20(Sat) 08:59:43)

もう一問お願いします。

実数 $2$x,y$ が $2$x,y>0$ かつ $2$xy \ge 4$ をみたしながら変化するとき
　　　 $2$ x+y+\displaystyle\frac{36}{xy(x+y)}$
の最小値を求めよ。

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■44044 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数の最小値

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□投稿者/ のぼりん一般人(4回)-(2011/08/21(Sun) 12:55:41)

こんにちは。
$2$u = x + y$ 、 $2$v = xy$ とおくと、 $2$t$ に関する二次方程式 $2$t^2 - ut + v = 0$ が正の実数解を（重解も込めて）二つ持つ必要十分条件として、 $2$u^2 \ge 4v > 0$ です。
$2$x, y > 0$ 、 $2$xy \ge 4$ の範囲は、 $2$u \ge 4$ 、 $2$4 \le v \le \frac {u^2} 4$ に移ります。
$2$ x + y + \frac {36} {xy(x + y)} = u + \frac {36} {uv} \ge u + \frac {36} {u \frac {u^2} {4}} \ge u + \frac {2^4 \cdot 3^2} {u^3} \ge \frac {8} {\sqrt[4] {3}}$
で、等号は、 $2$x = y = \sqrt[4] {27}$ のとき成り立ちます。

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■44045 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 関数の最小値

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(14回)-(2011/08/21(Sun) 16:52:10)

よく分かりました。
ありがとうございます。

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