数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 級数の収束・発散 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■44038 / inTopicNo.1)

　級数の収束・発散

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(11回)-(2011/08/20(Sat) 08:51:36)

次の問題がよく分かりませんので教えてください。

以下の級数の収束・発散を調べろ。
$2$(1) \\ \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log n} \\ \,\, \\ (2) \\ \displaystyle\sum_{p : \mathrm{prime}} \frac{1}{p\log p}$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44040 / inTopicNo.2)

　（削除）

▲▼■

□投稿者/ -(2011/08/21(Sun) 11:02:13)

この記事は(投稿者)削除されました

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44042 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 級数の収束・発散

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(13回)-(2011/08/21(Sun) 11:05:55)

なるほど、積分と比較するんですね。
ありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44043 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 級数の収束・発散

▲▼■

□投稿者/ のぼりん一般人(3回)-(2011/08/21(Sun) 11:13:18)

すみません。
見栄えが悪い箇所を修正しようとしたら、入れ違いになってしまった様です。

前半だけですが、
$2$ \displaystyle \sum_{n=2}^m \frac 1 {n \log n} > \displaystyle\int_2^m \frac {dx} {x \log x} = \Big[ \log (\log x) \Big]_2^m \to \infty \; (m \to \infty)$
です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44046 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 級数の収束・発散

▲▼■

□投稿者/ のぼりん一般人(5回)-(2011/08/21(Sun) 19:11:56)

2011/08/21(Sun) 19:19:44 編集(投稿者)

後半も少し考えてみましたが、正攻法では私の手に負えそうにないので、少々姑息な手を使わせていただきます。
以下、 $2$x$ は正の実変数とします。
$2$p(x) = \frac x {\log x}$ とおくと、 $2$p'(x) = \frac {\log x - 1} {(\log x)^2} < \frac 1 {\log x}$ です。
$2$\pi(x)$ を、 $2$x$ 以下の素数の個数とすると、素数定理により、 $2$\pi(x) \sim p(x)$ です。
よって、十分大きい正の定数 $2$C > 1$ を取ると、
$2$ \displaystyle \sum_{p:\rm {prime}} \frac 1 {p \log p} < C \displaystyle\int_2^\infty \frac 1 {x \log x} p'(x) dx < \left[ -C \frac 1 {\log x} \right]_2^\infty = \frac C {\log 2} < \infty$
です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44048 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 級数の収束・発散

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(16回)-(2011/08/22(Mon) 11:50:51)

有難うございます。
$2$ \displaystyle \sum_{p:\rm {prime}} \frac 1 {p \log p} < C \displaystyle\int_2^\infty \frac 1 {x \log x} p'(x) dx$

この評価がどうやって得られるものか考えたのですが、Stieltjes積分として

$2$ \displaystyle \sum_{p:\rm {prime}} \frac 1 {p \log p} = \displaystyle\int_2^\infty \frac 1 {x \log x} d\pi(x)$

と考えて得られるものですよね…？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■44049 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 級数の収束・発散

▲▼■

□投稿者/ のぼりん一般人(6回)-(2011/08/22(Mon) 19:52:39)