数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 方程式の解 (場合の数が関係？) / Page: 0]

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■43976 / inTopicNo.1)

　方程式の解 (場合の数が関係？)

□投稿者/ ゆーゆ一般人(11回)-(2011/07/30(Sat) 06:37:53)

pは素数とし,a,b,c,nは自然数で1≦a≦b≦c≦nを満たす。またx,yはx＜yを満たす自然数とする。

(1)ある自然数Zに対して,Z=p^x+p^yを満たす(x,y)はただ一組しかないことを示しなさい。

(2)以下,Z=p^a+p^b+p^cとする。p^x+p^yの形で表されるZの値は全部で何個か。

(3)Zのうちで,p^x+p^yの形で表さる(a,b,c)の組は全部で何個か。

(1)はたとえば,2^x+2^y=6を満たす(x,y)は(1,2)だけしかないといったようなことですよね？当たり前な気がするんですが,どうやって証明するんでしょうか？
(2)は全然わからないんですが,(3)は2^2+2^3や2^4+2^6のような場合をいろいろ考えたんですが,各場合で2組しかないような気がします。もしそうなら1つのZに対して(a,b,c)は2組なので,(2)の答えの2倍が(3)の答えになるのでしょうか？
教えてください。特に(2)がわからないです。よろしくお願いします。

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■43978 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 方程式の解 (場合の数が関係？)

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□投稿者/ 黄桃一般人(1回)-(2011/07/31(Sun) 09:24:38)

この問題は難しい部類に入ると思います。
ただ、問題文が不親切です。
(1)は「素数pを１つ決めた時」という言葉を最初に、「あるとすれば」という言葉を「(x,y)は」の後に追加するべきです(36=3^3+3^2=2^5+2^2 ですから、pがいろんな値をとってはダメですし、1はどうがんばっても p^x+p^y ではかけません)。
(2),(3)は、最初に「nを１つ固定する。」という言葉を、最後に「nの式で表せ。」という言葉を追加すべきです。

(1)は当たり前といえば当たり前ですが、３つの場合はご自身が2通りの表し方がある、とおっしゃっていますよね。なんで２つは当たり前で３つはそうではないのでしょうか？
(2),(3)は実験するのであればnを決めてください。たとえば、n=2,3 くらいでどうなるか考えてみてください。a,b,c の取り方は限定されますね。
pも2以外の可能性を考えてみましたか？

この問題を解く上での一番ポイントは「整数を素因数分解したときの素数pの指数（ベキの値）はただ一通りにきまる」ということです。

(1)は簡単なので、やってみます。
Z=p^x+p^y となったとします。
すると、Z=p^x(1+p^(y-x)) と変形できます。y-x>0 ですから、1+p^(y-x)は素数pで割り切れません(pの倍数+1という形ですから）。
xは自然数ですから、1以上で、Zは素数pを素因数にもつことがわかります。
だから、Zを素因数分解すれば p^(なんとか) という項がでてきます。
素因数分解の仕方はただ1通りですから、この（なんとか）は x と等しくなります(1+p^(y-x) はpでは割り切れませんから）。
すなわち、xはZを素因数分解した時に現れる素数pの指数に等しいので、ただ1通りに決まります。xが1通りにきまるので、当然p^y=Z-p^x もただ1通りに決まり、yもただ1通りに決まります。
したがって、Z=p^x+p^y となったとすれば、そのような表し方はただ1通りです。

同じような式変形を(2),(3)でもやってみてください。こちらでは、a≦b≦c なので、a=bの可能性を考えないといけません。
つまり、1+p^(b-a) はb-a>0 であれば、pで割ると1余りますが、b=aでは 2 になるので、そうはなりません。
場合わけが必要になりますが、地道にやっていけば、a,b,c,x,y の間の関係が明らかになります。
なお、解いていくうちに、p の値が限定されてしまうことにも気づくはずです。

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■43984 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 方程式の解 (場合の数が関係？)

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□投稿者/ ゆーゆ一般人(12回)-(2011/08/02(Tue) 02:01:58)

解説をしてくださってありがとうございました。
質問題は夏季補講の問題で今日授業でやってきたんですが、(2)の説明がやっぱりちんぷんかんぷんでしたToT

＞「素数pを１つ決めた時」という言葉を最初に

ご指摘の件を全部先生に伝えたんですが、まずpは2や3のような決まった素数(固定どうのこうのといっていました)だそうです。

「ある自然数Zに対して」については、Zは5^x+5^y=7のような方程式を満たす自然数(x,y)が存在しないようなのではなく、5^x+5^y=15のような、方程式を満たす自然数(x,y)が存在するようなものをうまく選んできた場合についてどうのこうのという意味だそうです。私にはもう何がなんだかって感じです…

(2)と(3)の答えはnで表すとのことでした。ちなみに(2)の答えは(n+1)C2だそうです。1≦a＜b=c≦nの場合と1≦a=b=c≦nの場合に分けて考えるとかなんとか…

(2)を詳しく教えてください。お願いします。

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■43985 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 方程式の解 (場合の数が関係？)

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□投稿者/ 黄桃一般人(2回)-(2011/08/02(Tue) 07:44:30)

問題が理解できないレベルだと答を書いても意味がわからないのではないかと思いますが、(2)の回答例は次のようになります。

p^a+p^b+p^c=p^a(1+p^(b-a)+p^(c-a)) なので、これが p^x+p^y=p^x(1+p^(y-x))と等しくなるとすれば、すくなくとも、p^a(1+p^(b-a)+p^(c-a))が p^x で割り切れなければなりません。
ここで場合を分けます。

(A) b>aの時。
この時 c>aであり、1+p^(b-a)+p^(c-a) はpで割り切れませんから、素因数分解の一意性からx=a でなければなりません。
p^x=p^aで両辺を割って整理すると、p^(b-a)(1+p^(b-c))=p^(y-x)となります。
同様に考えて、b>c であれば、1+p^(b-c)が１より大きく、pの倍数でないことになりますが、右辺は素因数分解するとpのベキしかない、といってますので、両者は矛盾します。
したがって、b=c でなければなりません。この時、1+p^0=2 ですから、p=2 であり、b-a=y-x+1 です。
すなわち、b>a の時は、x=a かつ b=c かつ p=2 かつ b-a+1=y-x でなければなりません。
逆に x=a かつ b=c かつ p=2 かつ b-a+1=y-x であれば、y=b-a+x+1=b-x+x-1=b+1で、p^a+p^b+p^c=2^a+2^b+2^b=2^a+2*2^b=2^a+2^(b+1)=2^x+2^y となりますから、条件をみたします。

(B)b=a の時
この時、p^a(2+p^(c-a))=p^x(1+p^(y-x))となっています。同様にc=aかどうかで場合わけです。

(B-1) c>a の時
p≠2 なら、2+p^(c-a) はpで割り切れないので、x=a であり、2+p^(c-a)=1+p^(y-x), すなわち、1+p^(c-a)=p^(y-x)となります。
右辺はpの倍数であり、左辺は違うので、これは矛盾です。したがって、p=2 でなければなりません。
2^a(2+2^(c-a))=2^(a+1)*(1+2^(c-a-1))=2^x(1+2^(y-x))なので、c=a+1 だと、左辺は２のベキ、右辺は奇数(1+2^(y-x))を含むので矛盾です。
したがって、c>a+1 であり x=a+1 でなければなりません。この時 1+2^(c-a-1)=1+2^(y-x) となるので、y-x=c-a-1 です。x=a+1 だから、これはy=c ということです。
以上をまとめると、b=a かつ c>a の時、p=2 かつ x=a+1 かつ y=c です。
逆にこの時、p^a+p^b+p^c=2^a+2^a+2^c=2^(a+1)+2^c=2^x+2^yですから、確かに条件をみたします。

(B-2) c=a の時
この時、p^a*3=p^x(1+p^(y-x)) です。p=3 とすると、左辺は3のベキですが、右辺にはpで割り切れない 1+p^(y-x)の項がありますから矛盾です。
したがって、p≠3 です。よって、p^a=p^x であり、3=1+p^(y-x)でなければなりません。すなわち、2=p^(y-x)です。これは p=2, y=x+1 の時のみ成立します。
以上をまとめると a=b=c の時、x=a かつ p=2 かつ y=x+1 でなければなりません。
逆にこの時、p^a+p^b+p^c=2^a+2^b+2^c=2^a+2^a+2^a=2^(a+1)+a^a だから、確かに条件を満たします。

以上の考察から、p^a+p^b+p^c=p^x+p^y となるような条件は、
p=2　かつ
「(ア)b>a, x=a, b=c, y=b+1 または
(イ）b=a, c>a, x=a+1, y=c または
　(ウ）a=b=c, x=a, y=a+1」
です。
Z=p^x+p^y の形として表すことができればそれは1通りであることは(1)で示したので、このような(x,y)の組み合わせを考えればOKです。
(ア)は1≦a=x<b+1=y=c+1≦n+1でa<bの場合ですから 1≦x<y≦n+1 かつy≧x+2の場合です。
(イ)は1≦a=b=x-1<y=c≦n で、c>a の場合ですから、2≦x<y≦n かつ y≧x+2の場合です。
(ウ)は1≦a=b=c=x<y=c+1≦n+1 の場合ですから、1≦x<y≦n+1 かつ y=x+1 の場合です。
結局のところ、1≦x<y≦n+1, y≧x+1 の場合がすべてです。
だから求める個数は{(x,y)|1≦x≦n+1, 1≦y≦n+1, x<y, x,yは自然数}の元の個数です。これは一辺n+1の正方形の上半分（対角線は除く）なので、求めるZの数は((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2=(n+1)C2 となります。

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■43988 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 方程式の解 (場合の数が関係？)

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□投稿者/ ゆーゆ一般人(13回)-(2011/08/03(Wed) 15:22:38)

大変お詳しい解説をしていただきましてありがとうございます。

要はrの最小値が2でsの最大値がn+1なので、2以上n+1以下の自然数から二つを選べばよいので、(n+1)C2ということなのでしょうか？

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■43996 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 方程式の解 (場合の数が関係？)

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□投稿者/ 黄桃一般人(3回)-(2011/08/04(Thu) 06:03:17)

rとsが何だか知りませんし、最小値が2というのもどこから来たのか知りませんが、すべての考察がすんで最後の計算だけをするのであれば、そういうことです。