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■43928 / inTopicNo.1) 　格子点
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□投稿者/ mitti 一般人(12回)-(2011/07/08(Fri) 20:38:39)
    直線3x+2y=6n,x=0,y=0で囲まれる三角形の周および内部にあり,x座標とy座標がともに整数である点の個数を求めよ。という問題で、

    　私は、以下のように解きました。間違っているところを指摘お願いします。

    　x軸に垂直な直線x=kで切る。
    　①k=2m (mは0以上の整数)のとき
    　　　　∑[m=0→n](-3m+3n+1)=(3n^2)/2+(5n)/2+1
    ②k=2m+1のとき
    　　　　∑[m=0→n-1](-3m+3n-2)=(3n^2)/2-n/2

    ①と②を合わせて3n^2+2n+1

    正解は3n^2+3n+1です。　　　　

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■43930 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 格子点
□投稿者/ らすかる 一般人(20回)-(2011/07/08(Fri) 23:01:07)
    そういう場合は、具体的に小さい値で考えるといいです。
    例えばn=1のとき、②の[m=0→n-1]は[m=0→0]となり、
    n=1,m=0ならば(-3m+3n-2)=(-3*0+3*1-2)=1となりますが、
    グラフを描くとわかるようにこれは2にならないとおかしいですね。
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■43933 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 格子点
□投稿者/ mitti 一般人(13回)-(2011/07/09(Sat) 15:22:50)
    ■No43930に返信(らすかるさんの記事)
    > そういう場合は、具体的に小さい値で考えるといいです。
    > 例えばn=1のとき、②の[m=0→n-1]は[m=0→0]となり、
    > n=1,m=0ならば(-3m+3n-2)=(-3*0+3*1-2)=1となりますが、
    > グラフを描くとわかるようにこれは2にならないとおかしいですね。

    ②の-3m+3n+2というところがミスなんですね。
    　3x+2y=6mという直線とx=k (k=2m+1)との交点は(k,-3k/2+3n)でk=2m+1なので代入すると(k,-3m-3/2+3n)となりますよね。だからx=k上には-3m+3n-2(個)あると思ったのですが・・・。もう少し詳しく教えてください。できたら②のときの正しい式も教えてください。この-3/2がややこしくしています。
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■43936 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 格子点
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2011/07/09(Sat) 19:44:25)
    それも同様に小さい値で考えるといいです。
    例えば交点が(k,3/2)だったらx=k上には何個になりますか？
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■43937 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 格子点
□投稿者/ mitti 一般人(14回)-(2011/07/10(Sun) 07:06:19)
    ■No43936に返信(らすかるさんの記事)
    > それも同様に小さい値で考えるといいです。
    > 例えば交点が(k,3/2)だったらx=k上には何個になりますか？

    　y座標が+3/2だと整数は0と1の2個だと思います。
    　もし,交点が(k,-3/2)だとx=k上には0個ですか？
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■43938 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 格子点
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2011/07/10(Sun) 07:20:49)
    もし(k,-3/2)ならば0個ですが、y座標が負の場合は考える必要がありませんし、
    非負の場合と扱いが違ってきますので考えるのは混乱の元です。

    y座標が3/2なら2個ですよね。
    同様に
    y座標が5/2なら3個、7/2なら4個となりますよね。
    すなわち
    「y座標が整数でない場合、小数点以下を切り上げた整数が個数になる」
    ということですから、
    「-3m-3/2+3n」ならばそれに1/2を加算した値になりますね。
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■43943 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 格子点
□投稿者/ mitti 一般人(16回)-(2011/07/11(Mon) 16:49:12)
    ■No43938に返信(らすかるさんの記事)
    > もし(k,-3/2)ならば0個ですが、y座標が負の場合は考える必要がありませんし、
    > 非負の場合と扱いが違ってきますので考えるのは混乱の元です。
    >
    > y座標が3/2なら2個ですよね。
    > 同様に
    > y座標が5/2なら3個、7/2なら4個となりますよね。
    > すなわち
    > 「y座標が整数でない場合、小数点以下を切り上げた整数が個数になる」
    > ということですから、
    > 「-3m-3/2+3n」ならばそれに1/2を加算した値になりますね。


    ありがとうございました。
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