(4/7)Ｘ(優勝確定)
　／
Ｘ(確率pで優勝)
　＼　　　　 (4/7)Ｘ(確率pで優勝)★＜……
　　(3/4)Ｙ＜
　　　　　　 (3/4)Ｙ(Ｘが優勝しないことが確定)

いま、Xが1勝した状態では、上の図の一番左の状態で、この状態から優勝する確率をとしました。

この状態から、Xがさらに勝てば、優勝が確定します。

1回負けても、そのあと再度勝てば、今の状態、つまり確率で優勝する状態になります。

つまり、p(今の優勝確率)=4/7(次の試合勝つ確率)×1(次の試合に勝った場合の優勝確率) + 3/7(次の試合負ける確率)×q(次の試合に負けた場合の優勝確率)
です。
ここでqは、4/7(次の次の試合勝つ確率)×r(★の場合の優勝確率) + 3/7(次の次の試合負ける確率)×0(次の次の試合に負けた場合の優勝確率)

であり、★の状態は、今の状態と同じ(次に勝てれば優勝、負けても連敗しなければ元の状態に戻る)なので、r=pであることがわかると思います。

したがって、p=4/7×1+3/7×(4/7×p)という等式が成り立ちます。


別の観点では、は
という無限等比級数で表せますから、



としても計算できます。