数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 二項定理 / Page: 0]

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■43851 / inTopicNo.1)

　二項定理

□投稿者/ ゆーゆ一般人(5回)-(2011/06/19(Sun) 01:02:58)

nは正の整数とする。
{10^(n+1)+5}/3は整数であることを示しなさい。

昨日あった実力テストの問題です。二項定理を使うそうですがやり方がわからないので教えていただけないでしょうか。お願いします。

ちなみに自分の回答は、各桁の和が3で割り切れる数はそれ自身が3で割り切れるので、分子の各桁の和=6より自明、としたのですが、これではだめらしいです。どこがいけないのでしょうか？

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■43852 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二項定理

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□投稿者/ シャロン一般人(36回)-(2011/06/19(Sun) 06:47:35)

二項定理を使った解答
$2$10^{n+1}+5 = (9+1)^{n+1}+5$
$2$ = \sum\limit_{k=0}^{n+1}\,{}_{n+1}\mathrm{C}_k\cdot9^k\cdot1^{n+1-k}\,+5$
$2$ = \sum\limit_{k=1}^{n+1}\,9\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_k\cdot9^{k-1}\,+1+5$
$2$ = 3\left(\sum\limit_{k=1}^{n+1}\,3\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_k\cdot9^{k-1}\,+2\right)$

二項係数はすべて整数なので、 $2$\sum\limit_{k=1}^{n+1}\,3\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_k\cdot9^{k-1}$ も整数であり、したがって、 $2$10^{n+1}+5$ は $2$3$ の倍数。
∴ $2$\frac{10^{n+1}+5}{3}$ は整数。

> ちなみに自分の回答は、各桁の和が3で割り切れる数はそれ自身が3で割り切れるので、分子の各桁の和=6より自明、

「各桁の和が $2$3$ で割り切れる数はそれ自身が $2$3$ で割り切れる」を証明していないとダメでしょう。

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■43858 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 二項定理

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□投稿者/ ゆーゆ一般人(6回)-(2011/06/21(Tue) 18:52:53)

返事が遅れてしまって失礼しました。たいへんよくわかりました。ありがとうございました。

解決済み!

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