 | sint-cost=1/√3 (A)
とします。
(sint)^2+(cost)^2=1
より
(sint-cost)^2+2sintcost=1
これに(A)を代入して
1/3+2sintcost=1
∴-sintcost=-1/3 (B)
(A)(B)よりsint,-costはxの二次方程式
x^2-(1/√3)x-1/3=0 (C)
の解となります。
(C)より
x=(1/2){(1/√3)±√(5/3)}
=(√3±√15)/6
∴(sint,-cost)=((√3+√15)/6,(√3-√15)/6),((√3-√15)/6,(√3+√15)/6)
∴(sint,cost)=((√3+√15)/6,-(√3-√15)/6),((√3-√15)/6,-(√3+√15)/6)
ですので
(sint)^n-(cost)^n
={(√3+√15)^n-{(-1)^n}(√3-√15)^n}/6^n
,{(√3-√15)^n-{(-1)^n}(√3+√15)^n}/6^n
となります。
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