数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 高1です　お願いします / Page: 0]

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■43831 / inTopicNo.1)

　高1です　お願いします

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□投稿者/ あい一般人(1回)-(2011/06/14(Tue) 23:06:37)

関数y=x^2-2ax＋1(0≦x≦0)
の最大、最小値を次の場合で求めよ
（１）a≦０（２）０<a<1（３）a=1（４）1<a<2（５）2≦a

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■43832 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 高1です　お願いします

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□投稿者/ あい一般人(2回)-(2011/06/14(Tue) 23:34:59)

■No43831に返信(あいさんの記事)
> 関数y=x^2-2ax＋1(0≦x≦2)
> の最大、最小値を次の場合で求めよ
> （１）a≦０（２）０<a<1（３）a=1（４）1<a<2（５）2≦a
入力間違ってました　これでお願いします

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■43833 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 高1です　お願いします

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□投稿者/ X 付き人(85回)-(2011/06/15(Wed) 00:06:46)

2011/06/15(Wed) 00:07:15 編集(投稿者)

y=x^2-2ax+1
より
y=(x-a)^2+1-a^2
これは軸の方程式がx=aである下に凸の放物線です。
よって定義域と軸との位置関係を考えると
(1)
この場合は軸は定義域の範囲外左側にありますので…。
(2)
この場合は軸は定義域の範囲内左寄りにありますので…。
(3)
この場合は軸は定義域の範囲内中央にありますので…。
(4)
この場合は軸は定義域の範囲内右寄りにありますので…。
(5)
この場合は軸は定義域の範囲外右側にありますので…。

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■43834 / inTopicNo.4)

　ありがとうございます

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□投稿者/ あい一般人(3回)-(2011/06/15(Wed) 00:09:48)

でも答えがわかりません　すいません
上に凸ではないのですか？基本もわかってなくて・・・

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■43835 / inTopicNo.5)

　Re[4]: ありがとうございます

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□投稿者/ X 付き人(86回)-(2011/06/15(Wed) 08:05:58)

では中学数学での放物線の説明から始めましょうか。

中学数学での放物線の方程式は
y=ax^2
で表されることはよろしいでしょうか？。
これの頂点の座標は(0,0) (つまり原点です)
また
a>0のとき下に凸
a<0のとき上に凸
となります。
(中学３年のときの数学の教科書の二次関数の項目を参照のこと。)

さてここからが高校数学です。
高校数学では上の考え方に加えて主に次の考え方が加わります。
I)平行移動
II)平方完成
III)放物線の対称軸

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■43836 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ありがとうございます

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□投稿者/ X 付き人(87回)-(2011/06/15(Wed) 08:12:22)

I)平行移動
今、放物線
y=ax^2 (A)
をx軸方向にp,y軸方向にqだけ平行移動してできる放物線を考えます。
(A)上の点(x,y)が上のような平行移動により点(X,Y)に平行移動したとすると
X=x+p (B)
Y=y+q (C)
∴
x=X-p (B)'
y=Y-q (C)'
(B)'(C)'を(A)に代入すると
Y-q=a(X-p)^2
∴Y=a(X-p)^2+q
従って平行移動後の放物線の方程式は
y=a(x-p)^2+q (D)
となります。
ここで注意しなければならないのは、平行移動により
(A)の頂点も平行移動する
ということです。
で具体的にどこに移動するかですが(A)の頂点の座標は(0,0)ですので
(B)(C)より
X=p
Y=q
つまり(D)の頂点の座標は(p,q) (E)
となります。

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■43837 / inTopicNo.7)

　Re[6]: ありがとうございます

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□投稿者/ X 付き人(88回)-(2011/06/15(Wed) 08:19:38)

2011/06/15(Wed) 09:19:47 編集(投稿者)

II)平方完成
ここでなぜ平方完成を持ち出すのかですが、二次関数のグラフの形を
具体的に知るためです。
一般に二次関数は
y=ax^2+bx+c (F)
の形になりますが、この式から直接(F)のグラフの形は分かりません。
そこで(F)を平方完成により、先ほどI)で説明した(D)の形に持って
行くことを考えます。
(F)より
y=a{x^2+(b/a)x}+c
=a{x^2+2{b/(2a)}x+{b/(2a)}^2}+c-{b/(2a)}^2
=a{x+b/(2a)}^2+c-{b/(2a)}^2
=a{x-(-b/(2a))}^2+c-{b/(2a)}^2 (F)'
(F)'を(D)と比較すると(F)は
頂点の座標が(-b/(2a),c-{b/(2a)}^2)の放物線
であることが分かります。

I)では書いていませんでしたが、平行移動によってグラフの形状は
変わりませんので(F)'からaの符号、つまり
(F)のx^2の係数の符号
が(F)のグラフが下に凸か上に凸かを決めます。
つまり
(F)のx^2の係数が正のとき、グラフは下に凸
(F)のx^2の係数が負のとき、グラフは上に凸
となります。

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■43838 / inTopicNo.8)

　Re[7]: ありがとうございます

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□投稿者/ X 付き人(89回)-(2011/06/15(Wed) 09:12:13)

2011/06/15(Wed) 16:02:16 編集(投稿者)

III)放物線の対称軸
高校数学では、
関数のグラフを一部切り取って(=定義域を設定する)
その切り取った部分の最大値、最小値を求める
ということを頻繁に考えます。
で、二次関数でこのような事を考えるとき、手がかりになるのは
二次関数のグラフ、つまり放物線の形状の対称性です。
ということで、ここでは放物線の対称軸について考えます。

一般に放物線
y=ax^2 (P)
は頂点(0,0)を通るy軸平行の
直線x=0 (Q)
(つまりy軸のことですが)に関して対称になります。
つまり(Q)は(P)の対称軸(或いは単に軸といいます)となります。

例題1)
y=2x^2の-1≦x≦2における最大値、最小値を求めよ。
解)
これは中学数学で既にやっていることなので容易かと思いますが
問題の範囲内に「放物線の頂点」が存在し、また下に凸であることから
最小値は0(このときx=0)
さて次に最大値ですが、グラフで端点の
(-1,2),(2,8)
を比較してみると点(2,8)の方が上のほうにあるので
最大値は8(このときx=2)
問題はこの最大値を求めるときの考え方です。
この場合、端点の位置を比較していましたが、視点を変えて
定義域の中での軸(頂点と言い替えたほうがいいかな)の位置を
考えます。
(定義域(つまりグラフの切り取られた範囲)を基準にして、
軸の位置関係を考えることに注意)
すると、軸は定義域の中で左寄りになっていることが分かります。

例題のようなことはy=2x^2のグラフによらず、一般の放物線に関しても
同じことが言えます。
下に凸のグラフの場合
i)定義域の中で軸が左寄りになっている場合
右側の端点で最大となります。
ii)定義域の中で軸が右寄りになっている場合
左側の端点で最大となります。
iii)定義域の中で軸が中央にある場合
左右両側の端点で最大となります。
(これは頭で覚える類のことではなくて、実際に手でグラフを描いて体で覚える
ことです。何個も二次関数のグラフを描く問題を解くことで自然に
身につくと思います。)

上に凸の場合は下に凸の場合と、最大最小の関係がひっくり返ります。
例えば
i)定義域の中で軸が左寄りになっている場合
右側の端点で最小となります。

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■43840 / inTopicNo.9)

　Re[1]: 高1です　お願いします

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□投稿者/ X 付き人(90回)-(2011/06/15(Wed) 16:03:20)

以上のことを踏まえてもう一度No.43833をご覧下さい。

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