数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 2^nの最高位の数字 / Page: 0]

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■43803 / inTopicNo.1)

　2^nの最高位の数字

□投稿者/ army 一般人(3回)-(2011/06/09(Thu) 19:19:24)

またお世話になります。今回は整数論についてむずかしめの問題に取り組んでいます。解答はあり、理解できるのですが、大変思いつきにくい繁雑なものでした。

2^n(但しnは1から555までの自然数)を十進法で表した時、最高位が1になるものと
4になるものはそれぞれ何個か。ただし2^555は168桁である。

1になるものの個数はすぐに167個と出ました。問題は4になるときの個数です。正解は54個になりますが、前述しましたようにあまり綺麗な解法とは言えませんでした。皆さんならどう解かれますか。私は思いつかないのでぜひ教えていただきたいです。

お願い致します。

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■43806 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2^nの最高位の数字

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□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2011/06/09(Thu) 22:18:48)

2^555の最高位がわかっていれば簡単なんですけどね。
log[10]2の値とか使ってはいけないのでしょうか？

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■43810 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2^nの最高位の数字

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□投稿者/ army 一般人(4回)-(2011/06/10(Fri) 18:05:32)

■No43806に返信(らすかるさんの記事)
> 2^555の最高位がわかっていれば簡単なんですけどね。
> log[10]2の値とか使ってはいけないのでしょうか？

ご回答ありがとうございます。失礼いたしました、log[10]2は与えられていました。書き忘れです。
2^555の最高位は1ということは簡単に分かりました。

もしよろしければ初めに質問しました、最高位が4になる場合についてコメント頂けないでしょうか。完全な解答までは希望しません。よろしくお願い致します。

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■43811 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2^nの最高位の数字

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□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2011/06/10(Fri) 19:40:59)

2011/06/10(Fri) 19:42:35 編集(投稿者)

2^555の最高位が1ならば、
最高位が1になるものが167個だから
最高位が5～9になるものも167個
（2^kの最高位が1⇔2^(k-1)の最高位は5～9）
また最高位が2～3になるものも167個
（2^kの最高位が1⇔2^(k+1)の最高位は2～3）
よって最高位が4になるものは555-167-167-167=54個

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■43826 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 2^nの最高位の数字

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□投稿者/ army 一般人(5回)-(2011/06/11(Sat) 23:51:52)

■No43811に返信(らすかるさんの記事)
> 2011/06/10(Fri) 19:42:35 編集(投稿者)
>
> 2^555の最高位が1ならば、
> 最高位が1になるものが167個だから
> 最高位が5～9になるものも167個
> （2^kの最高位が1⇔2^(k-1)の最高位は5～9）
> また最高位が2～3になるものも167個
> （2^kの最高位が1⇔2^(k+1)の最高位は2～3）
> よって最高位が4になるものは555-167-167-167=54個

再度ご回答ありがとうございます。
なるほど、最高位が5～9だとそれを2倍したら最高位が1になり、
また最高位が1だとそれを2倍したら最高位が2か3になるという考察
から167個と同じとやっていったのですね。全く思いつきませんでした。
ありがとうございます。大変参考になりました。

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