 | 2011/06/10(Fri) 18:13:09 編集(投稿者)
2011/06/10(Fri) 17:44:41 編集(投稿者)
θの範囲を見やすくするために、arccosを用いましたが、高校数学の範囲内で
解答することも可能です。その場合は
0≦θ≦arccos(1/√5),π-arccos(1/√5)≦θ≦π+arccos(1/√5),2π-arccos(1/√5)≦θ≦2π
を例えば
0≦θ≦α,π-α≦θ≦π+α,2π-α≦θ≦2π (A)
(但しαはcosα=1/√5,0<α<π/2なる角)
と記述します。
で、問題の面積の計算ですが(A)を
0≦θ≦α,π-α≦θ≦π,π≦θ≦π+α,2π-α≦θ≦2π
と４つの積分範囲で考えると、適当な置換で全て等しい積分になります
(図形的には互いに対称になっています。)
ので
S=4∫[0→α](1/2)(r^2)dθ
=2∫[0→α]{(5cos^2θ-1)/cos^4θ}dθ
さてここからですが
S=2∫[0→α]{(4-tan^2θ)(1/cos^2θ)}dθ
と変形してtanθ=tと置きましょう。
θ=αのときのtの値は公式
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
を用いることにより
tanα=2
となりますのでθ:0→αにt:0→2が対応し
S=2∫[0→2](4-t^2)dt
=32/3
となります。
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