数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 対称式に関連して / Page: 0]

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■43734 / inTopicNo.1)

　対称式に関連して

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2011/05/23(Mon) 23:49:04)

以下の問題をお教え下さい。

「実数a,b,cが　a＋b＋c = ab＋bc＋ca = 3 を満たすとき、abcの値を求めよ。」

a^2＋b^2＋c^2=3、a^3＋b^3＋c^3=3abc 等は導けたのですが、abcの値がわかりません。よろしくお願い致します。

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■43735 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対称式に関連して

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□投稿者/ ブリジット・デュボア一般人(1回)-(2011/05/24(Tue) 00:19:50)

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
なので、a=b=c

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■43737 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 対称式に関連して

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□投稿者/ 掛け流し一般人(3回)-(2011/05/24(Tue) 01:27:25)

ﾌﾞﾘｼﾞｯﾄﾞ･ﾃﾞｭﾎﾞｱさんありがとうございます。
結局 a=b=c であることがわかり、条件 a＋b＋c=3 より「a=b=c=1」となり、
abc=1 である。わけですね。

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■43738 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 対称式に関連して

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□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2011/05/24(Tue) 02:54:51)

三次方程式の解と係数の関係からa,b,cは (x-1)^3=abc-1 の3解だが、
右辺≠0のとき2解が虚数になるから、abc=1。

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■43747 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 対称式に関連して

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□投稿者/ 掛け流し一般人(4回)-(2011/05/29(Sun) 20:44:51)

らすかるさんありがとうございます。
結果、実数 a,b,cが a＋b＋c＝ab＋bc＋ca＝3 を満たすならば、abc＝1であって、
（a,b,cは方程式ｘ^3-3x~2＋3x-1＝（ｘ-1)^3＝0 の解（3重解）として与えられる。）訳ですね。　

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