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■43725 / inTopicNo.1) 　級数
  ▼■
□投稿者/ オレンジ 一般人(1回)-(2011/05/18(Wed) 18:53:15)
    a(0)=0,a(1)=1,a(n)=(n-1){a(n-1)+a(n-2)}
    を満たす数列a(n)を級数を用いて表せ。

    ※aの後の( )は添え字です。

    ************************************
    という問題が出来ず、困っています。
    漸化式を繰り返してみたのですが、上手くまとめることができません(;□;)

    教えて下さい!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■43727 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 級数
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2011/05/19(Thu) 00:52:28)
    a[n]=(n-1){a[n-1]+a[n-2]}
    a[n]-na[n-1]=-{a[n-1]-(n-1)a[n-2]}
    =a[n-2]-(n-2)a[n-3]
    =-{a[n-3]-(n-3)a[n-4]}
    ・・・
    =-(-1)^n・(a[1]-a[0])
    =-(-1)^n
    a[n]-na[n-1]=-(-1)^n
    {a[n]-na[n-1]}/n!=-(-1)^n/n!
    a[n]/n!-a[n-1]/(n-1)!=-(-1)^n/n!
    Σ[k=1〜n]a[k]/k!-a[k-1]/(k-1)!=Σ[k=1〜n]-(-1)^k/k!
    (左辺)=a[n]/n!-a[0]/0!=a[n]/n! なので
    a[n]/n!=Σ[k=1〜n]-(-1)^k/k!
    ∴a[n]=-n!Σ[k=1〜n](-1)^k/k!

    以下は余談ですが
    1/e=e^(-1)=Σ[k=0〜∞](-1)^k/k!
    から
    1/e-1=Σ[k=1〜∞](-1)^k/k!
    なので、n≧1のとき
    a[n]-n!(1-1/e)=n!Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!
    |a[n]-n!(1-1/e)|=|n!Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!|
    =n!|Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!|
    ＜n!/(n+1)!
    =1/(n+1)
    ≦1/2
    従って
    -1/2＜a[n]-n!(1-1/e)＜1/2
    a[n]＜n!(1-1/e)+1/2＜a[n]+1
    となり、n≧1に対する一般項は
    a[n]=[n!(1-1/e)+1/2]　（右辺の[　]はガウス記号）
    と表せます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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