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■43583 / inTopicNo.1)

　Σ_{n=1}^∞ f_n(z)が一様収束しない例を探してます

□投稿者/ はるみ一般人(1回)-(2011/03/29(Tue) 19:02:57)

複素数列{g_n}と複素関数列{f_n(z)}に於いて
Σ_{n=1}^∞ g_nは収束し,Σ_{n=1}^∞|g_n|は発散し,
|f_n(z)|≦|g_n|なるf_n(z)で
Σ_{n=1}^∞ f_n(z)が一様収束しない
という{f_n(z)}と{g_n}の例を探していますが
どうしても見つけれません。どのようなものが有りますでしょうか?

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■43588 / inTopicNo.2)

　Re[1]: Σ_{n=1}^∞ f_n(z)が一様収束しない例を探してます

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□投稿者/ のぼりん一般人(1回)-(2011/04/01(Fri) 03:16:17)

2011/04/03(Sun) 21:21:51 編集(投稿者)

こんばんは。卑近な例で恐縮ですが、
$2$ g_n = \begin{cases} \frac 1 n & (n = 1, 3, 5, \cdots) \\ - \frac 1 n & (n = 2, 4, 6, \cdots) \end{cases}$
とし、 $2$f_n (z) = \frac 1 n$ （定数関数）とおけば、 $2$\sum_{n = 1}^\infty g_n$ は収束し、 $2$\sum_{n = 1}^\infty |g_n|$ は発散し、 $2$|f_n (z)| \le |g_n|$ （実際は等号が成り立つ）で、 $2$\sum_{n = 1}^\infty f_n(z)$ はそもそも（各点で）収束しないので一様収束もしません。

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■43590 / inTopicNo.3)

　Re[2]: Σ_{n=1}^∞ f_n(z)が一様収束しない例を探してます

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□投稿者/ はるみ一般人(2回)-(2011/04/02(Sat) 15:14:41)

どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。

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