数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 整数２ / Page: 0]

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■43579 / inTopicNo.1)

　整数２

□投稿者/ むぎ一般人(1回)-(2011/03/29(Tue) 01:43:07)

2011以下の正の整数の組(a,b,c)で、 a+b+c が a,b,c のすべての倍数になっているようなものはいくつあるか。

ただし、(1,1,2) と (1,2,1) などのように順番だけが異なるものは同じ組と見なす。

この問題はどのように解けばいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

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■43580 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数２

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□投稿者/ シャロン一般人(16回)-(2011/03/29(Tue) 08:50:38)

数の組だけを考えればよいので、必要なら順序を入れ替えて、 $2$a\le b\le c$ としてよい。

また、自然数 $2$l,m,n$ を用いて $2$a+b=cl,\,b+c=am,\,c+a=bn$ とかける。

$2$2a\le a+b\le2b\le b+c\le2c$ より、
$2$l\le2$

1) $2$l=2$ の場合、
$2$a+b=2c$ 、 $2$b+c=\frac{a+3b}2$ より、
$2$b+c\le2b$ 、 $2$c\le b$
$2$b\le c$ としたので、 $2$b=c$ 。さらに $2$a=c$

2) $2$l=1$ の場合、
$2$a+b=c$ 、 $2$a+c=2a+b\le3b$ より、
$2$n\le3$

2-1) $2$n=1$ の場合、
$2$c+a=b$ から $2$a=0$ となり不適。

2-2) $2$n=2$ の場合、
$2$c+a=2b$ から $2$a+b+a=2b$ 、 $2$b=2a$ 、 $2$c=3a$ 。

2-3) $2$n=3$ の場合、
$2$c+a=3b$ から $2$a+b+a=3b$ 、 $2$b=a$ 、 $2$c=2a$ 。

1), 2-1)～2-3)より、題意が満たされるのは $2$(a,b,c)$ が $2$(a,a,a),\,(a,a,2a),\,(a,2a,3a)$ となる場合のみ。

どの数も2011以下なので、
$2$(a,a,a)$ となるのは、2011とおり。
$2$(a,a,2a)$ となるのは、 $2$2011\div2=1005.5$ より1005とおり。
$2$(a,2a,3a)$ となるのは、 $2$2011\div3=607\frac13$ より607とおり。

よって、求める組み合わせは $2$2011+1005+607=3623$ とおり。

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■43582 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数２

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□投稿者/ らすかる大御所(1006回)-(2011/03/29(Tue) 17:12:24)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2011÷3=670+1/3 なので 2011+1005+670=3686 通りですね。

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■43584 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数２

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□投稿者/ シャロン一般人(17回)-(2011/03/29(Tue) 19:08:56)

らすかるさん

計算ミスのご指摘ありがとうございます。