数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 指数を含む方程式 / Page: 0]

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■43555 / inTopicNo.1)

　指数を含む方程式

□投稿者/ Math70 一般人(2回)-(2011/03/19(Sat) 12:02:16)

方程式 $2$ a ^k = a ^{a ^k}$ を $2$ a$ について解く問題ですが、分かりません。
教えてください。

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■43556 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数を含む方程式

□投稿者/ らすかる大御所(1005回)-(2011/03/19(Sat) 13:25:52)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

aが正の実数、kが実数でよければ
a^k=a^(a^k)
k=a^k
k^(1/k)=a

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■43558 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 指数を含む方程式

□投稿者/ シャロン一般人(13回)-(2011/03/20(Sun) 10:51:09)

2011/09/16(Fri) 14:22:35 編集(投稿者)

らすかるさんの解に加えて、
$2$a=1$
はどんな $2$k$ でもこの方程式を満たします。

∵ $2$a^k-a^{a^k}=0$
$2$a^k(1-a^{k-a^k})=0$
$2$a\ne0$ から $2$a^k\ne0$
∴ $2$a^{k-a^k}=1$

$2$a\ne1$ のとき $2$k-a^k=\log _a1=0$
$2$a^k=k$
$2$k\ne0$ なら $2$a=k^{\frac{1}{k}}=\sqrt[k]{k}$

$2$a=1$ のとき、 $2$a^{k-a^k}=1^{k-1^k}=1^{k-1}=1$ でなりたつ。

∴ $2$a=\sqrt[k]{k},\,1$ （ $2$k\ne0$ のとき）、 $2$a=1$ （ $2$k=0$ のとき）

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