数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 指数方程式 / Page: 0]

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■43515 / inTopicNo.1)

　指数方程式

□投稿者/ annwfn 一般人(1回)-(2011/03/05(Sat) 00:21:17)

指数方程式の問題です｡

xについての方程式4^x-a^2･2^x+2a^2+4a-6=0が正の解と負の解をそれぞれ一つずつ持つとき､
定数aの値の範囲を求めよ｡

自分としては2^x=tと置き､式を
t^2-a^2･t+2a^2+4a-6=0
と変化しtの二次式と考えたとき､ｸﾞﾗﾌがy軸と負の部分で交われば条件を満たすと思い
後は元がxの式なのでx=0のときt=1なので
1-a^2+2a^2+4a-6<0
a^2+4a-5<0
となり最終的にaの範囲は
-5<a<1
となりましたが､解答には
-5<a<-3
とあり､別の条件があるようなのです｡
その条件がよくわかりません､宜しくお願いします｡

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■43517 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数方程式

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□投稿者/ X 付き人(52回)-(2011/03/05(Sat) 12:45:02)

2011/03/05(Sat) 12:48:40 編集(投稿者)

2^x=t
と置くとt>0ですので
f(t)=t^2-a^2･t+2a^2+4a-6
であるとき、単に
f(1)<0
だけではtの二次方程式
f(t)=0
がt≦0の解を持ったときの場合が考慮に入っておらず、不十分です。
このことから、更に
f(0)>0
の条件が必要になります。

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■43520 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 指数方程式

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□投稿者/ annwfn 一般人(2回)-(2011/03/05(Sat) 18:31:11)

なるほど､f(t)がx軸負の部分と交点を持つとX^2=t≦0となり矛盾してしまうわけですね
なのでy軸との交点は正である必要があると
教えて頂いた条件で解くとaの範囲はa<-3,1<aとなり前述の範囲と合わせると
答えの-5<a<-3となり正解となります｡

ただ､それだとt=0の場合となり､それはそれでX^2=t>0と矛盾してしまいそうですがそれは大丈夫なのでしょうか?

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■43521 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 指数方程式

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□投稿者/ X 付き人(53回)-(2011/03/05(Sat) 20:17:41)

2011/03/05(Sat) 20:19:30 編集(投稿者)

t>0の条件が付くのは
f(t)=0
の解(つまりf(t)のグラフとt軸との交点のt座標)であって
f(t)のグラフの定義域ではありませんので問題ありませんよ。

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■43534 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 指数方程式

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□投稿者/ annwfn 一般人(3回)-(2011/03/06(Sun) 16:50:06)