| 2011/02/23(Wed) 13:34:07 編集(投稿者)
sint=k と置くと costdt=dk となりますがここで問題になるのはcostの符号です。 t:π/4→π/2のときcost=√(1-k^2) t:π/2→3π/4のときcost=-√(1-k^2) ∴∫[π/4→3π/4]dt/sint=∫[1/√2→1]dk/{k√(1-k^2)}-∫[1→1/√2]dk/{k√(1-k^2)} =2∫[1/√2→1]dk/{k√(1-k^2)} となります。 なぜこんなことが起きるかですが、 t:π/4→3π/4においてkはtに対して単調ではない ことに起因しています。 ですのでこの種の積分に置換積分を適用する場合は、 (i)積分範囲を置換に関して単調になるように分割する (ii)積分範囲において単調になるような置換を選ぶ ということになります。
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