 | ■No43475に返信(は央さんの記事)
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> y=cosxとy=-(2/π)xただし0<=x<=π/2においてx軸周りに回転してできる立体の体積をめよがわかりません。たぶんπ^2/12になると思います。
> わかる方お願いします。途中式があればありがたいです。
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「数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板」（12238．体積）
今現在の状況
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体積
名前：ルオオオ 日付：2011/2/14(月) 1:1
y=cosxとy=-(2/π)xただし0<=x<=π/2においてx軸周りに回転してできる立体の体積をめよがわかりません。たぶんπ^2/12になると思います。
わかる方お願いします。途中式があればありがたいです。
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Re: 体積
名前：シャロン 日付：2011/2/14(月) 16:42
問題は正しいでしょうか？
だとしたら、途中で方程式cos x=(2/π)xを解く必要がありますが、この解は初等関数(四則、冪、対数関数、指数関数、三角関数、逆三角関数およびこれらを有
限個数合成したもの)では表せません。
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Re: 体積
名前：ルオオオ 日付：2011/2/14(月) 16:47
体積を求める前にグラフを描く問題がありましたが、グラフは描けたので
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Re: 体積
名前：シャロン 日付：2011/2/14(月) 17:53
y=cos xとy=(-2/π)xは交点を持ちませんから
グラフは描けます。
ただ、体積を求めるとなるとy=cos xとy=(2/π)x *式が違う点に注意!!* の交点を求める必要がありますね。この交点の座標は代数的には求められません。
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Re: 体積
名前：シャロン 日付：2011/2/14(月) 18:35
そもそも(π^2)/12という数値が解せません。
(求める体積)≧(区間[0,π/2]でグラフy=cosxとy軸で囲まれた図形をx軸周りに回転した立体の体積) = (π^2)/4ですから、明らかに間違っています。
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Re: 体積
名前：MA. 日付：2011/2/14(月) 21:8
たしかこれ啓林館の問題ですよね？（違ったらごめんなさい）
私の記憶では確かy=sinx,y=-(2/π)xだったと思います。
ここの会社はこれだから嫌いですね。
なんと愚痴っても仕方ないので･･･
cosだと本当に無理なので、sinで解きますが･･･
交点はグラフを書いて求めるしかありません
グラフを書くと分かると思いますが、
sinx,(2/π)xはちょうどy=1のとき交わります。
（ここで符号を入れ替えている理由は大丈夫ですね？）
なので、積分区間は0→1/2πとなります。
それで計算すると
V=∫[0,(1/2)π]π(sinx)^2dx-(半径1,高さ(1/2)πの円錐)
=[1/2x-1/4sin2x][0,(1/2)π]-1/6π^2
=1/4π^2-1/6π^2=1/12π^2 ■
確かに答えは一致しました。
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Re: 体積
名前：シャロン 日付：2011/2/14(月) 21:40
MA.さん、すいません。確認させていただきますが、テキストでは、
「y=sinxとx軸で囲まれる図形をx軸周りに回転した立体」から「y=(-2/π)xとx軸で囲まれる図形をx軸周りに回転した立体」をくり抜いた立体の体積を求める問
題として出題されているのでしょうか？
それとも、「y=sinxとy=(2/π)xとx軸で囲まれる図形をx軸周りに回転した立体」の体積を求める問題として出題されているのでしょうか？
#前者であっても直線はy=(2/π)xでいいのでは？と思ったもので。
#この問題へと誘導する問題にグラフ描画があるようなので一概に出題が悪いとはいませんが。
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Re: 体積
名前：MA. 日付：2011/2/14(月) 22:30
すいません
今手元にそれがないのでなんともいえません…
確かに問題としては
y=(2/π)x
のほうがすんなりいきますね
とはいえ、ルオオオさんもそこまで打ち間違えるとは思えないので、やはりy=cosxとy=-(2/π)xかもしれません。
答えも間違っている可能性もありますし･･･とりあえず質問者の返信を待ちましょう。
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Re: 体積
名前：ルオオオ 日付：2011/2/14(月) 22:35
間違ってましたm(_ _)mすみません！
y=cosxとy=1-(2/π)xただし0<=x<=π/2においてx軸周りに回転してできる立体の体積をめよがわかりません。たぶんπ^2/12になると思います。
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Re: 体積
名前：シャロン 日付：2011/2/14(月) 22:56
ということであれば、MA.さんのご指摘のとおりの図形をx=π/4を対称軸にして対称移動したものになりますから、答えはあっているようですね。
#体積を"めよ"は直ってないですね....
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Re: 体積
名前：ルオオオ 日付：2011/2/14(月) 23:9
cosでは求められませんか？
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「12238．体積」への返信
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