数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 円周率の定義 / Page: 0]

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■43443 / inTopicNo.1)

　円周率の定義

□投稿者/ だいき一般人(1回)-(2011/02/08(Tue) 14:42:26)

半径が1の円（単位円）においては、単位円を表す式は x^2 + y^2 = 1 であるから、
π=∫[-1→1]{1/√(1-X^2)}dx
とありました。
半円の円周を求めているのはわかるのですが、1/√(1-X^2)がどのようにして導かれるのか理解できないでおります。
どなたかアドバイスいただければと思います。

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■43444 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円周率の定義

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□投稿者/ らすかる大御所(997回)-(2011/02/08(Tue) 15:33:04)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

y=の式に直してy'を求め、
曲線の長さの公式に代入すれば出ます。

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■43445 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 円周率の定義

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□投稿者/ だいき一般人(2回)-(2011/02/08(Tue) 20:50:55)

らすかる様ありがとうございます。曲線の長さの公式について、すっかり忘れておりました。お陰様で求めることができました。

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■43449 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 円周率の定義

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□投稿者/ だいき一般人(3回)-(2011/02/09(Wed) 08:02:21)

このことにつきまして、検索しておりましたら、
『円の式はy=2√(1-x^2)、円周は∫[x=-1→1]ydyであるからdy=2/2√(1-x^2)dxとなり、半径1の場合なので円周率はπ=∫[-1→1]{1/√(1-X^2)}dxとなる。』
とありました。
理解できない点が３つあります。
①なぜ、円の式はy=2√(1-x^2)なのか？
②なぜ、円周は∫[x=-1→1]ydyなのか？
③なぜ、dy=2/2√(1-x^2)dxなのか？
どうも最終的な答えは合っているようなので、導き方も正しいのだろうと思うのですが、理解できないでおります。
どなたかさらなるアドバイスの程宜しくお願い致します。

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■43452 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 円周率の定義

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□投稿者/ らすかる大御所(999回)-(2011/02/09(Wed) 08:49:21)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

どこにあったか知りませんが、誤植ではないでしょうか。
y=2√(1-x^2) は変形すると x^2+y^2/4=1, y≧0 ですから
円の式でなく半楕円の式ですし、
dy=2/2√(1-x^2)dx も正しくありませんし、
もし y=2√(1-x^2) で dy=2/2√(1-x^2)dx ならば
∫[x=-1→1]ydy = ∫[x=-1→1]2√(1-x^2)・2/2√(1-x^2)dx = ∫[x=-1→1]2dx
となりますので計算も合っていません。

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■43454 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 円周率の定義

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□投稿者/ だいき一般人(5回)-(2011/02/09(Wed) 14:06:43)

らすかる様度重なるアドバイス大変感謝しております。私もらすかる様のように考えてみたのですが自信がありませんでした。らすかる様にアドバイスいただき、自信が持てました。ありがとうございました。

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