 | bは|b|≧3を満たす整数とする。2次方程式x^2+bx+1=0の解をα,βとする。
0以上のすべての整数nに対してα^n+β^nは整数であることを示せ。という問題で以下の解答が合っているか確認お願いします。
1)n=0のとき
α^0+β^0=1+1=2 で成立
2)n=k(kは0以上の整数)で成り立つと仮定する。
つまりα^k+β^kは整数であると仮定する。
n=k+1のとき
α^2+bα+1=0 β^2+bβ+1=0
それぞれα^{k-1}, β^{k-1}をかけると
α^{k+1}+bα^k+1=0 ･･･①
β^{k+1}+bβ^k+1=0 ･･･②
①＋②
α^{k+1}+β^{k+1}=-b(α^k+β^k)-2
α^k+β^kは整数なので α^{k+1}+β^{k+1}は整数。
1), 2)より0以上のすべての整数で成り立つ。
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