 | >>y=2+cosθ/1+sinθ
を
y=(2+cosθ)/(1+sinθ)
と解釈して回答します。
x=1-sinθ (A)
y=(2+cosθ)/(1+sinθ) (B)
π/2≦θ≦π (C)
とします。
(1)
(C)よりcosθ≦0
∴cosθ=-√{1-(sinθ)^2}
これと(A)より
cosθ=-√{1-(1-x)^2}
=-√(2x-x^2) (A)'
(A)(A)'より(B)は
y={2-√(2x-x^2)}/(2-x)
となります。
(2)
(A)(B)よりx,yはそれぞれθと(C)において１対１に対応しています。
また(C)により
0≦x≦1
であることから0<x<1において(1)の結果を用いたxに対するyの増減を
考えても問題ありません。
ということで(1)の結果からdy/dxを求めて0<x<1における増減表を描きましょう。
(商の微分を使います。)
(3)
(1)の結果を使うと
∫[1→0]ydx=∫[1→0]{{2-√(2x-x^2)}/(2-x)}dx
=∫[1→0]{2/(2-x)}dx-∫[1→0]√{x/(2-x)}dx (D)
ここで
∫[1→0]{2/(2-x)}dx=[-2log(2-x)][1→0]=2log2 (E)
問題は(D)の第２項についてですが
√(2-x)=t
と置くと
2-x=t^2
x=2-t^2
dx=-2tdt
でx:1→0にt:1→√2が対応し
∫[1→0]√{x/(2-x)}dx=∫[1→√2]{{√(2-t^2)}/t}(-2t)dt
=-2∫[1→√2]√(2-t^2)dt
更にt=(√2)sinuと置くとdt=(√2)cosuduで
t:1→√2にu:π/4→π/2が対応し
∫[1→0]√{x/(2-x)}dx=-2(√2)∫[π/4→π/2]{(cosu)^2}du
=-(√2)∫[π/4→π/2](1+cos2u)du
=-(π/4-1/2)√2 (F)
(D)(E)(F)より
∫[1→0]ydx=2log2+(π/4-1/2)√2
=log4+(π/4)√2-1/√2
となります。
注)
(3)についてはもう少し簡単な計算方法があるかもしれません。
又、もし計算が間違っていたらごめんなさい。
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