 | 2011/01/20(Thu) 21:54:15 編集(投稿者)
■No43340に返信(さきさんの記事)
> ところで、『あとは数学的帰納法で、漸化式から a[n+2]＝2cos(n+2)θが作れますので x^n+1/x^n＝2cos(nθ) となります。』とありますが、どのように導くのでしょうか？
> n=1の時、a[1]=x+1/x＝2cosθ
> n=kの時、a[k]=x^k+1/x^k＝2cos(kθ)と仮定すると、
> n=k+1の時、a[n+2]＝(2cosθ)a[n+1]-a[n]より、a[k+1]={a[k+2]+a[k]}/2cosθであるから、a[k+1]={a[k+2]+2cos(kθ)}/2cosθ
> と、ここからうまく展開できません。
３項間の漸化式より、前の２項 a[k],a[k+1] を仮定して a[k+2] を作ります。
a[1]＝2cosθ, a[2]＝2cos2θであることを確認して
n=kの時、a[k]＝2cos(kθ)、
n=k+1の時、a[k+1]＝2cos((k+1)θ)と仮定すると、漸化式より
a[k+2]＝(2cosθ)a[k+1]-a[k]＝ … ＝2cos((k+2)θ)
となります。
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