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■43304 / inTopicNo.1)

　合成関数と逆関数の導関数の定義式を使った証明は?

□投稿者/ Toppo 一般人(1回)-(2011/01/14(Fri) 11:25:48)

こんにちは。

y=f(u),u=g(x)において
合成関数の導関数dy/dx=dy/du・du/dxを証明したいのですが
導関数の定義式を使って,
dy/dx=lim{h→0}(f(u+h)-f(u))/h・lim{h→0}(g(x+h)-g(x))/hから
=lim{h→0}(f(g(x+h))-f(g(x)))/h
を導きたいのですがどうすればいいのでしょうか?

あと,y=f(x)の逆関数x=f^-1(y)の導関数を証明したいのですが
導関数の定義式を使って
dx/dy=lim{h→0}(f^-1(y+h)-f^-1(y))/hから
=1/[lim{h→0}(f(x+h)-f(x))/h]
を導きたいのですがどのようにすればいいのでしょうか?

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■43305 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 合成関数と逆関数の導関数の定義式を使った証明は?

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□投稿者/ ? 一般人(2回)-(2011/01/14(Fri) 15:49:08)

$2$g(x+h)-g(x)=\Delta u$ と書くことにすると $2$h\to 0$ のとき $2$\Delta u\rightarrow 0$ であることに注意して,

$2$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{f(g(x)+\Delta u))-f(g(x))}{\Delta u}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
と変形してから $2$h\to 0$ とすればよい. ただし, $2$\Delta u=0$ なる場合にこれでは困るので, その場合まで込めて議論を正当化するには, 高校数学の範囲では無理で, もうちょっとちゃんとした形で微分を定式化しないとだめ.

逆関数の微分公式については, 通常の如くの証明「 $2$f(f^{-1}(x))=x$ の両辺を微分して $2$\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dy}=1$ 」のうちで合成函数の微分公式を用いた部分を上記と同様に書き直すことで目的は達せられるのでは?

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■43306 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 合成関数と逆関数の導関数の定義式を使った証明は?

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□投稿者/ masato 一般人(2回)-(2011/01/14(Fri) 17:11:03)