 | 2011/01/09(Sun) 15:56:48 編集(投稿者)
f(x)はa<x<bで連続かつ何回でも微分可能であり
かつ
f(a)=f(b)=0 (A)
ですので、f(x)の増減を考えると
a<x<bにおいて少なくとも一つf'(x)=0となる点が存在 (B)
しなければなりません。
更にf"(x)<0により
a<x<bにおいてf'(x)は単調減少 (C)
ですので(A)(B)より
f(x)はa<c<bなるある一つのcに対しf'(c)=0であり
a<x<cにおいてf'(x)>0
c<x<bにおいてf'(x)<0
以上からf(c)はa<x<bにおけるf(x)の極大値 (D)
ですので(A)(D)より
a<x<bにおいてf(x)>0
です。
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