 | ■No43271に返信(零さんの記事)
> 自然数からなる数列{an},{bn}が、次の式で定められている。
> (3+2√2)^n=an+bn√2
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> ①数学的帰納法を用いて、(3-2√2)^n=an-bn√2が成り立つことを示しなさい。
> ②数列{an},{bn}の一般項を求めなさい。
条件式 an+bn√2=(3+2√2)^n より
a[n+1]+b[n+1]√2
=(3+2√2)^(n+1)
=(3+2√2)^n・(3+2√2)
=(an+bn√2)(3+2√2)
=(3an+4bn)+(2an+3bn)√2
すなわち a[n+1]=3an+4bn, b[n+1]=2an+3bn が成り立つ。
また, a1=3, b1=2 である。
①(3-2√2)^n=an-bn√2が成り立つことを数学的帰納法で示す。
n=1 のとき a1=3, b1=2 よりＯＫ
n=k のとき ak-bk√2=(3-2√2)^k が成り立つと仮定すると
a[k+1]-b[k+1]√2
=(3-2√2)^(k+1)
= …
=(3ak+4bk)-(2ak+3bk)√2
=a[k+1]-b[k+1]√2 となって、n=k+1 でも成り立つ
以上より,(3-2√2)^n=an-bn√2が成り立つ。
②(3+2√2)^n=an+bn√2
(3-2√2)^n=an-bn√2 を連立させて,an,bn を求める。
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