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■43269 / inTopicNo.1)

　logの問題

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□投稿者/ みー付き人(50回)-(2011/01/07(Fri) 17:17:35)

こんばんは。センター数学についての質問です。
問題と解答は画像のとおりです。
わからないのはオレンジの下線部のところなのですが、
なぜこのようなルート計算がいきなり出てきたのでしょうか。
よろしくお願い致します。

1024×1284 => 199×250

log.JPG/134KB

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■43273 / inTopicNo.2)

　Re[1]: logの問題

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□投稿者/ ? 一般人(1回)-(2011/01/07(Fri) 22:44:49)

②の解

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■43278 / inTopicNo.3)

　Re[1]: logの問題

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□投稿者/ 鎌倉一般人(1回)-(2011/01/08(Sat) 11:50:05)

2011/01/08(Sat) 11:53:39 編集(投稿者)

①式で、 $2$\log _{2} x = X, \ \log _{2} a = A$ とおいた式が②式で、それが $2$X^2 - 2 X - 2 A = 0$ なので、
これが異なる２つの実数解をもち、それを $2$X = M, \ X = N$ とすると、
$2$X^2 - 2 X - 2 A = (X - M) (X - N) = 0$
となります。
解答の方では、この $2$M$ と $2$N$ は、 $2$M = \log _{2} \alpha, \ N = \log _{2} \beta$ のように、 $2$\alpha$ と $2$\beta$ と対応をつけています。
そして問題の条件として、 $2$\alpha < \beta$ としているので、 $2$M < N$ となります。

ご質問のオレンジ色の部分ですが、これは②式
$2$X^2 - 2 X - 2 A = 0$ という二次方程式を解いたもので、解は $2$X = M$ と $2$X = N$ です。

$2$a X^2 + b X + c = 0$ という二次方程式の解は、
$2$X = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$
ですから、今の問題では、 $2$a = 1, \ b = - 2, \ c = - 2 A$ で、
$2$\sqrt{b^2 - 4 a c} = \sqrt{4 (1 + 2 A)} = 2 \sqrt{1 + 2 A}$
$2$X = \frac{- (-2) \pm 2 \sqrt{1 + 2 A}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + 2 A}$
となり、 $2$M < N$ ということから、
$2$M = 1 - \sqrt{1 + 2 A}, \ N = 1 + \sqrt{1 + 2 A}$
となります。

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■43280 / inTopicNo.4)

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□投稿者/ みー付き人(51回)-(2011/01/08(Sat) 16:32:23)

なるほど!!
とてもすっきりしました(^_^)
ここの謎が解けたので
あとの解説も理解できました。
ありがとうございました。

(携帯)

解決済み!

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