数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: さいころを5回投げるとき・・・・・ / Page: 0]

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■43206 / inTopicNo.1)

　さいころを5回投げるとき・・・・・

□投稿者/ army 一般人(20回)-(2010/12/23(Thu) 00:06:00)

2010/12/23(Thu) 00:31:57 編集(投稿者)
2010/12/23(Thu) 00:07:15 編集(投稿者)

さいころを5回投げるとき、その和が6の倍数になるのは何通りか求めよ。自分で勝手に作って考えています。

和の場合は、和が6,12,18,24,30の場合それぞれを考え、例えば和が6になるときは
6個の球とそれを仕切る4つの仕切りを考えて、球と球の間の計5つの隙間に配置す
ればよいという考察から5C4通りと出し、同様に和が12の時は11C4通り、同様に・・・・・とやっていくと、5C4＋11C4＋17C4＋23C4＋29C4通りと出ました。
この考え方は正しいのかどうか皆様のご意見をお聞かせください。

よろしくお願い致します。

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■43208 / inTopicNo.2)

　Re[1]: さいころを5回投げるとき・・・・・

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(976回)-(2010/12/23(Thu) 00:55:46)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

残念ながら正しくありません。
和が6になるときはそれで正しいですが、
和が11以上ではそのように単純計算できません。
例えば「和が30」で29C4と計算している中には
「1回目が10、2回目が9、3回目が7、4回目が3、5回目が1」
のような、さいころではあり得ない組合せが含まれています。

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■43213 / inTopicNo.3)

　Re[2]: さいころを5回投げるとき・・・・・

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□投稿者/ army 一般人(22回)-(2010/12/24(Fri) 00:56:33)

■No43208に返信(らすかるさんの記事)
> 残念ながら正しくありません。
> 和が6になるときはそれで正しいですが、
> 和が11以上ではそのように単純計算できません。
> 例えば「和が30」で29C4と計算している中には
> 「1回目が10、2回目が9、3回目が7、4回目が3、5回目が1」
> のような、さいころではあり得ない組合せが含まれています。

岡目八目と言いますか、やはり自分では気付かないものでした。重要なご指摘ありがとうございます。
らすかるさんのご意見をお聞かせください。各回数で得られる目の上限が6であるというだけで大変な作業を強いられるのですが、何か鮮やかな解法は思い浮かばれますか。よろしくお願い致します。

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■43214 / inTopicNo.4)

　Re[3]: さいころを5回投げるとき・・・・・

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(977回)-(2010/12/24(Fri) 01:34:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

mod6の確率で考えると簡単です。
1回振った時、mod6で0～5になる確率が1/6ずつです。
1回目の出目がmod6でいくつであっても、2回目までの合計で
mod6で0～5になる確率は1/6ずつですから、全体でも1/6ずつです。
同様に何回振ってもmod6で0～5になる確率が1/6ずつですから、
求める場合の数は6^5/6=6^4=1296通りとなります。
ちなみに、球と仕切りの応用でも解けることは解けます。

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■43215 / inTopicNo.5)

　Re[4]: さいころを5回投げるとき・・・・・

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□投稿者/ army 一般人(23回)-(2010/12/24(Fri) 09:48:30)

■No43214に返信(らすかるさんの記事)
> mod6の確率で考えると簡単です。
> 1回振った時、mod6で0～5になる確率が1/6ずつです。
> 1回目の出目がmod6でいくつであっても、2回目までの合計で
> mod6で0～5になる確率は1/6ずつですから、全体でも1/6ずつです。
> 同様に何回振ってもmod6で0～5になる確率が1/6ずつですから、
> 求める場合の数は6^5/6=6^4=1296通りとなります。
> ちなみに、球と仕切りの応用でも解けることは解けます。

なるほどmodなら出来ますね。納得致しました。ありがとうございます。
個人的には視覚的な観点からの解答を得たいと考えています。仰っている
解けることは解けるやり方を御教授願います。仕切りと仕切りの間が6以下
にならなければならないわけですが、すごい場合分けになりませんか？

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■43216 / inTopicNo.6)

　Re[5]: さいころを5回投げるとき・・・・・

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□投稿者/ らすかる大御所(978回)-(2010/12/24(Fri) 11:25:29)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

例えば和が12の場合、球と仕切りで考えると11C4ですが
これには 7+1+1+1+2 などの組合せが含まれています。
6より大きくなる箇所から6を引けば和が6となり(7+1+1+1+2→1+1+1+1+2)、
6より大きくなる箇所は5C1通りですから、
11C4-5C4*5C1=305通りと求められます。

和が18の場合も同様に6より大きくなる箇所から6を引けば
和が12となって17C4-11C4*5C1となりますが、この計算では
6より大きい箇所が2箇所になる場合が重複して引かれていますので
その分を足します。6より大きい箇所が2箇所になる場合は
それぞれから6を引けば和が6となり、また2箇所の選び方が
5C2通りですから5C4*5C2を足します。
よって和が18となるのは17C4-11C4*5C1+5C4*5C2=780通りと
求められます。

同様の考え方で
和が24となるのは 23C4-17C4*5C1+11C4*5C2-5C4*5C3=205通り
和が30となるのは 29C4-23C4*5C1+17C4*5C2-11C4*5C3+5C4*5C4=1通り
となり、和が6の5C4通りも足せば 5C4+305+780+205+1=1296通りと
求まります。

また、上記では単純に計算しましたが、
「和が30」は a+b+c+d+e=30 → (7-a)+(7-b)+(7-c)+(7-d)+(7-e)=5
となり「和が5」と同じ組合せ数、同様に「和が24」は「和が11」と
同じ組合せ数ですから18以上は17以下に置き換えられ、
(5C4)+(11C4-5C4*5C1)+(17C4-11C4*5C1+5C4*5C2)+(10C4-4C4*5C1)+(4C4)
とも計算できます。

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■43217 / inTopicNo.7)

　Re[6]: さいころを5回投げるとき・・・・・

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□投稿者/ army 一般人(24回)-(2010/12/24(Fri) 16:13:56)

大変詳しいご回答に時間を割いていただきありがとうございます。

■No43216に返信(らすかるさんの記事)
> 例えば和が12の場合、球と仕切りで考えると11C4ですが
> これには 7+1+1+1+2 などの組合せが含まれています。
> 6より大きくなる箇所から6を引けば和が6となり(7+1+1+1+2→1+1+1+1+2)、
> 6より大きくなる箇所は5C1通りですから、
> 11C4-5C4*5C1=305通りと求められます。
これはよく分かりました。

>
> 和が18の場合も同様に6より大きくなる箇所から6を引けば
> 和が12となって17C4-11C4*5C1となりますが、この計算では
> 6より大きい箇所が2箇所になる場合が重複して引かれていますので
なぜでしょうか。私はらすかるさんの考え方を参考に以下のように考えたのですが
これではだめでしょうか。
①6より大きい箇所が1箇所の時。
場所を決める方法が5C1通り、和が12になる場合は先の答えより11C4-5C4*5C1通り。よって5C1×（11C4-5C4*5C1）通り。
②6より大きい箇所が2箇所の時。
場所を決める方法が5C2通り、和が6になる場合は先の答えより5C4通り。
よって5C2×5C4通り。
①と②の和が6より大きい箇所が現れてしまう全体の場合の数で、これを17C4から引いたものが、和が18になる場合の数。他も同様。

> その分を足します。6より大きい箇所が2箇所になる場合は
> それぞれから6を引けば和が6となり、また2箇所の選び方が
> 5C2通りですから5C4*5C2を足します。
> よって和が18となるのは17C4-11C4*5C1+5C4*5C2=780通りと
> 求められます。
>

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■43220 / inTopicNo.8)

　Re[7]: さいころを5回投げるとき・・・・・

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□投稿者/ らすかる大御所(981回)-(2010/12/24(Fri) 16:45:28)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> ①6より大きい箇所が1箇所の時。
> 場所を決める方法が5C1通り、和が12になる場合は先の答えより11C4-5C4*5C1通り。
> よって5C1 ×（11C4-5C4*5C1）通り。

例えば6より大きい箇所が1箇所の例として 13+1+1+1+2 がありますが、
これは「和が12になる場合のどこかに6を足す」では得られません。
よって6より大きい箇所が1箇所の時の計算は
6より大きい箇所の数字が7～12の時：5C1*(11C4-5C4*5C1)通り
6より大きい箇所の数字が13以上の時：5C1*5C4通り
と場合分けして計算する必要があります。
このように計算すれば
17C4-{5C1*(11C4-5C4*5C1)}-{5C1*5C4}-{5C2*5C4}=780
となり、私の計算と合います。

しかしこの計算方法では、「和が30」のように大きい場合に
場合分けが大変ではないでしょうか。

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■43222 / inTopicNo.9)

　Re[8]: さいころを5回投げるとき・・・・・

▲▼■

□投稿者/ army 一般人(25回)-(2010/12/24(Fri) 22:46:16)

よく分かりました。長らくのお付き合い誠にありがとうございました。

解決済み!

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