数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 図形の体積(重積分) / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■43178 / inTopicNo.1)

　図形の体積(重積分)

□投稿者/ ハイネ一般人(1回)-(2010/12/19(Sun) 19:32:43)

次の図形の体積を求めよ
(1) 　　x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3) < a^(2/3)
(2) 0<x+y<1 , 0<y+z<1 , 0<z+x<1

入力に慣れていないため読みづらくてすいません。『<』は、上記のいずれも『=』が下につきます。
何とぞお願いいたします。

引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/

■43180 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形の体積(重積分)

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(35回)-(2010/12/20(Mon) 11:05:35)

(2)
問題の図形は
点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
を頂点とする四面体になります。
ですので単に体積を求めるだけなら重積分は不要で
求める体積をVとすると
V=(1/3)(1/2)・1・1・1=1/6
となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■43181 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 図形の体積(重積分)

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(36回)-(2010/12/20(Mon) 11:39:55)

(1)
求める体積をVとすると、問題の図形がxy平面に関して対称であることから
V=2∬[D]{a^(2/3)-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dxdy
(D:x^(2/3)+y^(2/3)≦a^(2/3))
ここで
x^(1/3)=rcosθ
y^(1/3)=rsinθ
と置くと
x=(rcosθ)^3
y=(rsinθ)^3
∴
∂x/∂r=(3r^2)(cosθ)^3
∂x/∂θ={-3sinθ(cosθ)^2}r^3
∂y/∂r=(3r^2)(sinθ)^3
∂y/∂θ={3cosθ(sinθ)^2}r^3
∴ヤコビヤンをΔとすると
Δ=(9/4)(r^5)(sin2θ)^2
また
D:0≦r≦a^(1/3)
が対応し
V=2∫[r:0→a^(1/3)]∫[θ:0→2π]{{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}{(9/4)(r^5)(sin2θ)^2}dθdr
=(9/2)∫[r:0→a^(1/3)](r^5){{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}dr
・∫[θ:0→2π]{(sin2θ)^2}dθ
=…

注)
∫[r:0→a^(1/3)](r^5){{a^(2/3)-r^2}^(3/2)}dr
については、a^(2/3)-r^2=Rと置きましょう。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■43185 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 図形の体積(重積分)

▲▼■

□投稿者/ ハイネ一般人(2回)-(2010/12/20(Mon) 19:49:48)

ご回答感謝します。
(1)に関しては、ご指摘がありましたように「四面体」ではなく「平行六面体」の一種ではないかと思います。
いずれにせよ、こんなに速くご回答いただけるとは思いませんでしたので、大変嬉しいです。ありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■43187 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 図形の体積(重積分)

▲▼■

□投稿者/ パナ一般人(1回)-(2010/12/20(Mon) 22:38:23)

(2) 0<x+y<1 , 0<y+z<1 , 0<z+x<1
y+z=2s
z+x=2t
x+y=2u　　とすると　　　0<s,t,u<1/2
x=-s+t+u
y=s-t+u
z=s+t-u
(x,y,z)=s(-1,1,1)+t(1,-1,1)+u(1,1,-1)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■43197 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 図形の体積(重積分)

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(37回)-(2010/12/21(Tue) 15:45:36)

2010/12/21(Tue) 15:47:03 編集(投稿者)

>>ハイネさんへ
ごめんなさい。No.43180についてですが私の早とちりでした。
この内容については無視して下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター