 | この方針でよさそうです。厳密に書くなら、次のような感じでしょうか。
「(x,y)に対して x＝s+t,y=st＋1/t となるような s,t>0 が存在するような領域」
⇔「(x,y), x>0 に対して y=v(x-v)+1/v となるようなv, 0<v<x が存在する領域」
⇔{(x,v(x-v)+1/v)| 0<v<x} (0<v<x なら x>0 は当たり前）
0<v を１つとって固定し、このvに対して
f_v(x)=v(x-v)+1/v
とおけば、f_v(x)はxに関する1次関数で、傾きv>0 より、v<x において 1/v より大きいすべての値をとる。よってf_v(x)の値域(x>v)は 1/vより大きい値全体である。...(*)
したがって、
{(x,v(x-v)+1/v)| 0<v<x}
={(x,y)| 0<v<x, 1/v<y}
となります。
ここで、「0<v<x かつ 1/v<y」ならば、y>0、よって、xy>vy>1となり、また、
「xy>1 かつ x>0(y>0でもよい）」ならば y>0 であり、1/y>0 でもあるから(xy>1 よりx>1/yなので）、x>v>1/y>0となるvが存在し（例えば v=(1/2)(x+1/y), vはxと1/yの中点)、1/v<y, 0<v<x となるので、...(**)
{(x,y)| 0<v<x, 1/v<y}
={(x,y)| xy>1, x>0} (x>0の代わりにy>0でもよい）
である。
以上で(**)の部分をグラフを書いて「図より」でいいかどうかは微妙で、説明不足とされる可能性が高いです。
もし、その(*)でxを固定してvを動かし、vの関数g(v)=v(x-v)+1/v (0<v<x) の値域が 1/x より大きい数全体になる、と述べてあれば(**)の議論をせずに一気に結論にいけます（0<v<x でg(v)>1/v>1/x であり、lim[v→x]g(v)=1/x, lim[v→+0]g(v)=+∞ であるから g(v)の連続性より、くらいの理由でいいでしょう）。
こちらとの区別ができていないようにも見えますので、答案としては多少の減点（説明不足か誤解か両方か）になる可能性大と思います。
ご自分の勉強のためで、上記のことを理解しているなら（うまく数式で表現できなかっただけなら）かなりいい線ではないでしょうか。
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