数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 微分 / Page: 0]

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■4308 / inTopicNo.1)

　微分

□投稿者/ しげる一般人(1回)-(2005/09/30(Fri) 16:49:40)

ｙ＝ｆ（ｔ）、ｘ＝ｇ（ｔ）のとき
⊿ｙ/⊿ｘ＝（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）
lim(⊿ｘ→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿ｘ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）
∴ｄｙ/ｄｘ＝（ｄｙ/ｄｔ）/（ｄｘ/ｄｔ）
は正しいですか？
また、逆関数の微分というところで、
ｙ’＝2ｘ±√（ｘ＾2-2）
となったのですが、もとの関数を1対1対応になるようにして
微分したものを合わせたものと考えてもいいのですか？

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■4313 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ moomin 付き人(69回)-(2005/09/30(Fri) 21:38:25)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

ｄｘ/ｄｔ＝lim(⊿t→0)⊿ｘ/⊿ｔ
なのでその議論は間違っています。もっと厳密にε－δ論法を使って証明
しなくてはなりません。

逆関数の微分についても用語が正しくないので
間違った解釈をしていると思われます。

正しくは
「逆関数が局所的に存在するとき、その逆関数の微分係数を
　逆関数の微分と呼ぶ」
という説明になります。

詳しく言うと関数f：R→Rに対して、fの定義域をa∈Xの十分近くに
制限して関数gを得たとします。
gの逆関数hが存在し、かつhのf(a)における微分係数が存在するとき※
それはgによらず決まるので、fのaにおける逆関数微分と呼びます。

※の条件はいつも成り立つとは限りません。
fとaがよい性質を持つときだけ逆関数の微分が定義できることになります。

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■4315 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ しげる一般人(2回)-(2005/10/01(Sat) 16:25:16)

間違えました
ｙ＝ｆ（ｔ）、ｘ＝ｇ（ｔ）のとき
⊿ｙ/⊿ｘ＝（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）
lim(⊿ｘ→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿ｘ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）
∴ｄｙ/ｄｘ＝（ｄｙ/ｄｔ）/（ｄｘ/ｄｔ）

lim(⊿ｘ→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿ｘ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）を
lim(ｔ→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(ｔ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）でした。

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■4316 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分

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□投稿者/ moomin 付き人(70回)-(2005/10/01(Sat) 18:43:18)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No4315に返信(しげるさんの記事)

lim(ｔ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ)
というような表記はナンセンスです。
⊿ｔ＝t-t_0　
ですよね？
t_0における微分係数を考えているのですからt→t_0とするのでは
ないですか？

同様に
lim(ｔ→0)⊿ｙ/⊿ｘ
という表記もナンセンスです。

おそらく
lim(⊿t→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿ｔ→0)（⊿ｙ/⊿ｔ）/（⊿ｘ/⊿ｔ）
を言いたいのかと思いますが、

lim(⊿t→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿x→0)⊿ｙ/⊿ｘ
はどうやって示しますか？

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■4327 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分

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□投稿者/ しげる一般人(3回)-(2005/10/02(Sun) 17:44:29)

> lim(⊿t→0)⊿ｙ/⊿ｘ＝lim(⊿x→0)⊿ｙ/⊿ｘ
> はどうやって示しますか？

ｘ、ｙはｔの関数だから⊿t→0なら⊿x→0ではないのですか？

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■4349 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 微分

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□投稿者/ moomin 付き人(71回)-(2005/10/02(Sun) 22:36:36)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No4327に返信(しげるさんの記事)

> ｘ、ｙはｔの関数だから⊿t→0なら⊿x→0ではないのですか？

違います。例えば
ｆ(s)＝０(s≦0)、
ｆ(s)＝１(s＞0)
という関数の場合⊿s→0としても⊿f(s)→0とは限りません。

ｘ、ｙがｔの連続関数ならば⊿t→0なら⊿x→0
が成り立ちます。
(x,yがｔについて微分可能であることを仮定すれば
ｘ、ｙはｔについて連続になることが示されます。)

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■4363 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 微分

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□投稿者/ しげる一般人(4回)-(2005/10/03(Mon) 13:10:11)

よくわかりました

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