数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 合成関数のグラフ / Page: 0]

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■43016 / inTopicNo.1)

　合成関数のグラフ

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□投稿者/ hiro 一般人(1回)-(2010/11/12(Fri) 21:51:28)

f(x)=1/{x(2-x)}, g(x)=e^xについて,y=g(f(x))のグラフをかきなさい。、という問題です。よろしくお願いします。一応自分でも書いてみたのですが･･･

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■43856 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 合成関数のグラフ

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□投稿者/ シャロン一般人(40回)-(2011/06/19(Sun) 18:25:15)

グラフを書くときには、 $2$x$ 切片、 $2$y$ 切片、増減、 $2$x\to\pm\infty$ や定義されない/不連続な $2$x_0$ に対する $2$x\to x_0$ の極限、漸近線を描いておけばよいでしょう。

$2$g(x)>0$ より、 $2$g(f(x))$ も常に正なので、 $2$x$ 切片は存在しない。

また、 $2$f(x)$ は、 $2$x=0,\,2$ で分母が $2$0$ になりそれらの箇所で定義されない。したがって、 $2$y$ 切片も存在しない。

また、 $2$f(x)=\frac{1}{x(2-x)}=\frac{1}{(2-x)\{2-(2-x)\}}=f(2-x)$ より、 $2$g(f(x))=g(f(2-x))$ なので、グラフは直線 $2$x=1$ について対称。

$2$f(x)=t$ とおくと、

$2$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(f(x))=(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g(t))(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}t)$
$2$=e^t\cdot\frac{-(2-x-x)}{\{x(2-x)\}^2}$
$2$=\frac{-2(1-x)e^{\frac{1}{x(2-x)}}}{\{x(2-x)\}^2}$
より、 $2$g^{\prime}(f(x))=0$ をといて、 $2$x=1$
増減を考え、 $2$y=g(f(x))$ は $2$x=1$ で極小値 $2$g(f(1))=e$ をとる。

また、 $2$x\to+0$ のとき、 $2$f(x)\to\infty$ 、
$2$x\to-0$ のとき、 $2$f(x)\to-\infty$ 、
$2$x\to\infty$ のとき、 $2$f(x)\to0$ より、

$2$\lim\limit_{x\to+0}g(f(x))=\lim\limit_{x\to2-0}g(f(x))$
$2$=\lim\limit_{t\to\infty}g(t)$
$2$=\infty$

$2$\lim\limit_{x\to-0}g(f(x))=\lim\limit_{x\to2+0}g(f(x))$
$2$=\lim\limit_{t\to-\infty}g(t)$
$2$=0$

$2$\lim\limit_{x\to\pm\infty}g(f(x))=\lim\limit_{t\to0}g(t)$
$2$=1$

さらに、 $2$\lim\limit_{x\to2-0}\frac{g(f(x))}{x}=\infty$ 、
$2$\lim\limit_{x\to-0}\frac{g(f(x))}{x}=0$
$2$\lim\limit_{x\to\infty}\frac{g(f(x))}{x}=0$
から、直線 $2$x=0,\,x=2,\,y=0,\,y=1$ はそれぞれ、 $2$x\to+0,\,x\to2-0,\,x\to-0$ および $2$x\to2+0,\,x\to\pm\infty$ としたときの漸近線である。

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