 | △MBC の法線単位ベクトルを(↑n)とします。
この(↑n)に平行な成分には{‖}を付け、垂直な成分には{⊥}を付けることにします。
↑OK = OK‖(↑n) + OK⊥(↑n_OK)
↑OM = ↑OK + ↑KM
↑OB = ↑OK + ↑KB
↑OC = ↑OK + ↑KC
ここで、↑KM, ↑KB, ↑KC は、△MBC の同一平面上にあるので、その面の法線単位ベクトル(↑n)とは直交します。
つまり、(↑n) との内積を考えると０になります。
↑OK = (2-2u)↑OM + (u/8)↑OB + (u/8)↑OC = (2-2u){↑OK + ↑KM} + (u/8){↑OK + ↑KB} + (u/8){↑OK + ↑KC}
となるので、これと(↑n)との内積を考えると、平行な部分のみ残り、
OK‖ = OK‖{ (2-2u) + (u/8) + (u/8) }
より、
(2-2u) + (u/8) + (u/8) = 1
となります。
△OBC の面積 S は、↑OB(=↑b)と↑OC(=↑c)のなす角をθとすると、
S = (1/2)|↑b||↑c| sinθ
で計算できます。
解答の√の中は、
|↑b|^2 |↑c|^2 - (↑b・↑c)^2 = |↑b|^2 |↑c|^2 - (|↑b||↑c| cosθ)^2 = (|↑b||↑c| sinθ)^2
となります。
また、|↑c| sinθ は、|↑b| を△の底辺としたときの高さになります。
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