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高校数学流に解くと以下のような感じです。
a[n]=n+1-√(n^2+n+1)
と置くと
a[1]=2-√3>0 (A)
一方
f(x)=x+1-√(x^2+x+1)
と置くと
f'(x)=1-(2x+1)/{2√(x^2+x+1)}
={2√(x^2+x+1)-(2x+1)}/{2√(x^2+x+1)}
={4(x^2+x+1)-(2x+1)^2}/{{2√(x^2+x+1)}{2√(x^2+x+1)+(2x+1)}}
=3/{{2√(x^2+x+1)}{2√(x^2+x+1)+(2x+1)}}
∴x≧1のときf'(x)>0ゆえ、x≧1においてf(x)は単調増加 (B)
(A)(B)より
a[n]≧2-√3
∴∑[k=1～n]a[k]≧∑[k=1～n](2-√3)=(2-√3)n
となるから
lim[n→∞](2-√3)n=∞
により
lim[n→∞]∑[k=1～n]a[k]=∞
∴∑[n=1～∞]a[n],つまり問題の無限級数は発散します。
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