数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 不等式の解 / Page: 0]

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■42841 / inTopicNo.1)

　不等式の解

□投稿者/ Math70 一般人(18回)-(2010/10/18(Mon) 14:52:05)

$2$ a > 1$ に対し、 $2$ f (x) = {\large \frac{1}{a ^2}} x (x - 1) ^2 (x - a)$ とする。 $2$ f (x) \leq 0$ を満たす $2$ x$ の範囲を求めよ。

という問題で、模範解答では、

$2$ x \ne 1$ のとき、 $2$ {\large \frac{(x - 1) ^2}{a ^2}} > 0$ より、 $2$ f (x) \leq 0$ ならば $2$ x (x - a) \leq 0$ 。
よって、 $2$ a > 1$ より $2$ 0 \leq x < 1$ , $2$ 1 < x \leq a$ 。
$2$ x = 1$ のとき、 $2$ f (x) = 0$ より $2$ f (x) \leq 0$ を満たす。
よって、 $2$ 0 \leq x \leq a$ 。

と書かれていたのですが、なぜ $2$ x \ne 1$ と $2$ x = 1$ の場合に分けなければいけないのでしょうか。

$2$ {\large \frac{(x - 1) ^2}{a ^2}} \geq 0$ より、 $2$ f (x) \leq 0$ ならば $2$ x (x - a) \leq 0$ 。
よって、 $2$ a > 1$ より $2$ 0 \leq x \leq a$ 。

ではだめなのでしょうか。

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■42842 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の解

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□投稿者/ miyup 大御所(1183回)-(2010/10/18(Mon) 21:03:01)

特に分ける必要はないと思いますが。

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■42843 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 不等式の解

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□投稿者/ G 一般人(1回)-(2010/10/18(Mon) 21:05:32)

質問とは関係ありませんが、これは４次関数で、 $2$x = 0$ と $2$x = a > 1$ で $2$x$ 軸を横切り、 $2$x = 1$ で極大値 $2$f(1) = 0$ となって $2$x$ 軸と接しますね。
これから $2$f(x) \leq 0$ となる $2$x$ の範囲も得られます。

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■42845 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 不等式の解

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□投稿者/ せら。一般人(1回)-(2010/10/19(Tue) 09:27:06)

今回はいいんですけど，たとえば $2$0 < a \leq 1$ だったら答えは
$2$0 \leq x \leq a \ , \ x = 1$
になりませんか？

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■42846 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 不等式の解

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□投稿者/ OK 一般人(7回)-(2010/10/19(Tue) 11:05:23)

■No42841に返信(Math70さんの記事)
> $2$ a > 1$ に対し、 $2$ f (x) = {\large \frac{1}{a ^2}} x (x - 1) ^2 (x - a)$ とする。 $2$ f (x) \leq 0$ を満たす $2$ x$ の範囲を求めよ。
>
> なぜ $2$ x \ne 1$ と $2$ x = 1$ の場合に分けなければいけないのでしょうか。
>

$2$x=1$ ならば $2$x(x-a)\le 0$ である必要は無いからです。

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■42848 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 不等式の解

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□投稿者/ G 一般人(2回)-(2010/10/19(Tue) 12:53:08)

2010/10/19(Tue) 12:56:00 編集(投稿者)

せら。さんのおっしゃるように、 $2$0 < a \leq 1$ であれば、 $2$0 \leq x \leq a, \ x = 1$ になりますね。
（ $2$0 < a < 1$ なら $2$0 \leq x \leq a, \ x = 1$ で、 $2$a = 1$ なら $2$0 \leq x \leq 1$ ）

一般的な話として、 $2$f(x) = g(x) \cdot h(x) = (x - 1)^2 h(x)$ と書けるとします。（ $2$g(x) = (x - 1)^2$ ）
このとき、 $2$f(x) \leq 0$ という条件とすると、それは $2$f(x) = 0$ または $2$f(x) < 0$ ということです。
$2$x = 1$ のとき、 $2$g(1) = 0 \ \to \ f(1) = 0$ となり、 $2$f(x) \leq 0$ を満たしますが、このとき $2$h(1) > 0$ であっても $2$h(1) < 0$ であっても $2$f(x) = 0$ となり

ます。
$2$x \ne 1$ とすると、 $2$g(x) = (x - 1)^2 > 0$ ですから、 $2$f(x) \leq 0$ であるためには、 $2$h(x) \leq 0$ となります。

つまり、 $2$f(x) \leq 0$ の中の $2$f(x) = 0$ に注目すると、
$2$x = 1$ の場合、 $2$f(x) = 0$ となる要因は $2$g(x)$ の方に確実にあり、
$2$x \ne 1$ の場合、 $2$f(x) = 0$ となる要因は $2$g(x)$ には一切なく、 $2$h(x)$ の方に確実にあることになります。

せら。さんの問題 $2$f(x) = (1/a^2)x(1 - x)^2(x - a), \ 0 < a \leq 1$ で考えると、 $2$g(x) = (x - 1)^2, \ h(x) = x(x - a)$ であり、
まず、 $2$0 < a < 1$ とすると、
$2$x = 1$ のとき、 $2$g(1) = 0 \ \to \ f(1) = 0, \ h(1) = (1 - a) < 0$ となり、 $2$x = 1$ は解になります。
$2$x \ne 1$ のとき、 $2$g(x) > 0, \ h(x) = x(x - a) \leq 0$ より、 $2$0 \leq x \leq a$ が解になります。
よって、 $2$0 \leq x \leq a, \ x = 1$ が、 $2$f(x) \leq 0$ を満たす $2$x$ の範囲になります。
次に、 $2$a = 1$ とすると、
$2$x = 1$ のとき、 $2$g(1) = 0 \ \to \ f(1) = 0, \ h(1) = 0$ となり、 $2$x = 1$ は解になります。
$2$x \ne 1$ のとき、 $2$g(x) > 0, \ h(x) = x(x - 1) \leq 0$ より、 $2$0 \leq x \leq 1$ が解になります。
よって、 $2$0 \leq x \leq 1$ が、 $2$f(x) \leq 0$ を満たす $2$x$ の範囲になります。

$2$0 < a < 1$ の方だけで考えると、
$2$x = 1$ と $2$x \ne 1$ を分けずに一まとめにして、 $2$g(x) \geq 0$ なので $2$h(x) \leq 0$ と考えたとしましょう。
この場合、 $2$h(x) = x(x - a) \leq 0$ から $2$0 \leq x \leq a$ は出てきますが、 $2$x = 1$ は気づきにくいでしょう。

問題によっては $2$x = 1$ と $2$x \ne 1$ を分ける意味があり、慎重に場合分けして考えた方がよさそうです。

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■42860 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 不等式の解

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□投稿者/ Math70 一般人(19回)-(2010/10/21(Thu) 17:15:06)

みなさん、詳しく解説していただきありがとうございました。

解決済み!

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