数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 行列で / Page: 0]

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■42721 / inTopicNo.1)

　行列で

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□投稿者/ なん一般人(1回)-(2010/09/23(Thu) 22:52:49)

行列（１　２）で与えられる一次変換によって円x^2+y^2=1が移される図形の方程式
　　　-4　２

を求めよ。という問題がわかりません。
答えはx^2/5＋y^2/20=1が答えだそうですが
よくわかりません。
解説お願いします。。

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■42723 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列で

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□投稿者/ tokoro 軍団(121回)-(2010/09/24(Fri) 01:32:33)

行列
$2$ \left ( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ - 4 & 2 \\ \end{array} \right )$
によって、 $2$(x, \ y)$ が $2$(x^{\prime}, \ y^{\prime})$ に移されるとすると、
$2$ \left ( \begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ - 4 & 2 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} x + 2 y \\ - 4 x + 2 y \\ \end{array} \right )$
となります。
ちょっと問題文の文章からは意味がわかりにくいのですが、移されたあとの図形の式が、円 $2$x^2 + y^2 = 1$ となる場合の図形の式を求めなさいという問題ですね。
（次の行列で与えられる一次変換によって、円 $2$x^2 + y^2 = 1$ に移される図形の式を求めよ、なら、まだ意味がわかると思います）
解答によれば、
$2$\frac{1}{5} (x^{\prime})^2 + \frac{1}{20} (y^{\prime})^2 = 1$
が求めるべき図形の式で、これは楕円ですね。
これでいいことは、
$2$ \frac{1}{5} (x + 2 y)^2 + \frac{1}{20} (- 4 x + 2y)^2 = \frac{4}{20} (x + 2 y)^2 + \frac{1}{20} (- 4 x + 2y)^2 = x^2 + y^2 = 1$
となることからわかります。

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■42728 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列で

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□投稿者/ らすかる大御所(917回)-(2010/09/24(Fri) 07:12:50)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> ちょっと問題文の文章からは意味がわかりにくいのですが、移されたあとの図形の
> 式が、円x^2+y^2=1となる場合の図形の式を求めなさいという問題ですね。

問題文の文章は意味が明確だと思います。
移されたあとの図形の式が x^2/5+y^2/20=1 ですね。
（例えばx^2+y^2=1上の点(1,0)はx'=x+2y, y'=-4x+2yによって
　x^2/5+y^2/20=1上の点(1,-4)に移ります。）

x'=x+2y, y'=-4x+2y ですから x,yについて解くと
x=(x'-y')/5, y=(4x'+y')/10 となり、
これをx^2+y^2=1に代入して整理すると
x'^2/5+y'^2/20=1 となりますので、
x^2+y^2=1 は x^2/5+y^2/20=1 に移ることがわかります。

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■42729 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 行列で

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□投稿者/ tokoro 軍団(123回)-(2010/09/24(Fri) 08:01:56)

2010/09/24(Fri) 08:36:04 編集(投稿者)
2010/09/24(Fri) 08:03:29 編集(投稿者)

一旦削除して書き直されたようですが、らすかるさんのおっしゃることと同じ意味です。
移されたあとの $2$(x^{\prime}, \ y^{\prime})$ の図形の式を $2$(x, \ y)$ を使って整理すれば、 $2$x^2 + y^2 = 1$ になりますという意味で書いています。

$2$(x^{\prime})^2 + (y^{\prime})^2 = 1$ ではなく、 $2$\frac{1}{5} (x^{\prime})^2 + \frac{1}{20} (y^{\prime})^2 = 1$
ですから、
らすかるさんの示されている式（x'^2/5+y'^2/20=1）と同じです。

最初に示されている行列の逆行列で計算すれば、らすかるさんとまったく同じプロセスになります。
$2$ \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right ) = \frac{1}{10} \left ( \begin{array}{cc} 2 & - 2 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ \end{array} \right ) = \frac{1}{10} \left ( \begin{array}{c} 2 x^{\prime} - 2 y^{\prime} \\ 4 x^{\prime} + y^{\prime} \\ \end{array} \right )$
よって、
$2$x^2 + y^2 = 1 \ \to \ \frac{1}{5} (x^{\prime})^2 + \frac{1}{20} (y^{\prime})^2 = 1$
となります。

私の書いたのも誤解を招く文章なので、あとで上のようにことわりをつけて修正し、 $2$(x, \ y) \ \to \ (x^{\prime}, \ y^{\prime})$ も示そうと思っていたところでした。
ただ、質問の方ではどちらの式も $2$x, \ y$ で書かれているので、最初の回答のようになったわけです。（本の問題文や解答にも誤植はよくありますので）

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■42730 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 行列で

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□投稿者/ らすかる大御所(918回)-(2010/09/24(Fri) 10:59:57)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2010/09/24(Fri) 11:02:00 編集(投稿者)

> 本の問題文や解答にも誤植はよくありますので
一般論としてこれには同意しますが、
この問題に誤植があるとおっしゃっているのですか？
私は誤植はないと思っているのですが…
それとも、tokoroさんの書かれた

> 次の行列で与えられる一次変換によって、円x^2+y^2=1に
> 移される図形の式を求めよ、なら、まだ意味がわかると思います

が誤植という意味でしょうか？

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■42731 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 行列で

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□投稿者/ tokoro 軍団(124回)-(2010/09/24(Fri) 12:05:38)

2010/09/24(Fri) 12:08:15 編集(投稿者)
2010/09/24(Fri) 12:06:30 編集(投稿者)

もちろん一般論として、本や解答の方に誤植がある可能性も考えられるという意味ですが。
らすかるさんの示されている私の書いた文章も誤解を招くので、修正する予定だったというのは、先に述べた通りです。
問題文も解答も同じ $2$x, \ y$ で書かれていれば、どちらが変換前の式なのか変換後の式なのか不明確なので、どちらが基準なのか？、問題文や解答に誤植があるのか？の疑いも出てきます。
なので、最初の回答では、解答の方が変換後だろうということで、 $2$(x^{\prime}, \ y^{\prime}) \ \to \ (x, \ y)$ の方向で進めて行ったら、めでたく $2$x^2 + y^2 = 1$ になりますね、ということだったわけです。
質問された方も、解答の方も $2$x, \ y$ で書かれていたので、どちらが基準になるのかよくわからないとなった可能性があると思います。

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■42736 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 行列で

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□投稿者/ らすかる大御所(923回)-(2010/09/24(Fri) 18:12:54)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 問題文も解答も同じx,yで書かれていれば、どちらが変換前の式なのか
> 変換後の式なのか不明確なので、どちらが基準なのか？、
> 問題文や解答に誤植があるのか？の疑いも出てきます。

問題と答えにおいて変換前と変換後は両方ともx,yの式にするのが
普通（というか当然）ではないでしょうか。
解答の途中では文字を変えてx',y'などとしますが、
それは途中計算で区別するためだけであって、
変換結果はあくまでもxy平面上の図形の式でなければなりませんので
x',y'などにしてしまうと間違いです。
この問題では「円x^2+y^2=1“に”移される図形」ではなく
「円x^2+y^2=1“が”移される図形」と言っていますから
x^2+y^2=1が変換前の図形であることは明らかであり、
解答も x^2/5+y^2/20=1 が正解ですから、
この問題、解答に関して不明確な点や誤植が疑われる点は
何一つないと思います。

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■42738 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 行列で

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□投稿者/ tokoro 軍団(125回)-(2010/09/24(Fri) 19:46:01)

私は座標変換においては、どの座標のものか、明確に区別するところで生きていますので、区別するのが当たり前だと思います。

> 問題と答えにおいて変換前と変換後は両方ともx,yの式にするのが
> 普通（というか当然）ではないでしょうか。
> 解答の途中では文字を変えてx',y'などとしますが、
> それは途中計算で区別するためだけであって、
> 変換結果はあくまでもxy平面上の図形の式でなければなりませんので
> x',y'などにしてしまうと間違いです。

そうですか、まったく知りませんでした。とても貴重な御意見、ありがとうございました。
それでは私以外にも、日常的に間違ったことをしている人が、かなりの数になりますね。（いろいろ世界的にも有名な賞をもらっているような人も）
これ以上つまらないことで話を続けても意味がないので、私からはこれにてお返事は一切終了させて頂きます。
それと、あれこれ難癖つけて人を貶めようという魂胆も見え見えですので、私はこれにて回答することも一切やめます。
らすかるさん、これからもがんばってください。
ではでは～。

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■42739 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 行列で

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□投稿者/ OK 一般人(6回)-(2010/09/24(Fri) 22:06:34)

> 私はこれにて回答することも一切やめます。

これは嬉しい限りです。

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■42741 / inTopicNo.10)

　ありがとうございました

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□投稿者/ なん一般人(2回)-(2010/09/24(Fri) 22:39:42)

遅れてすみません。
ありがとうございました。
わかりました!!

解決済み!

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■42742 / inTopicNo.11)

　Re[2]: 行列で

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□投稿者/ らすかる大御所(924回)-(2010/09/24(Fri) 23:00:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

一言だけ。私は
> ちょっと問題文の文章からは意味がわかりにくいのですが、移されたあとの図形の式が、
> 円x^2+y^2=1となる場合の図形の式を求めなさいという問題ですね。
と
> （次の行列で与えられる一次変換によって、円に移される図形の式を求めよ、
> なら、まだ意味がわかると思います）
は元の問題と変換元と変換先が逆であって、このまま放置しては
質問者やこのスレを見ている人に誤解を与えますので
訂正して頂きたいと思っただけですが、訂正して頂けなくて残念です。

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■42743 / inTopicNo.12)

　Re[3]: 行列で

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□投稿者/ もけ一般人(1回)-(2010/09/24(Fri) 23:28:42)

■No42742に返信(らすかるさんの記事)
> 一言だけ。私は
>>ちょっと問題文の文章からは意味がわかりにくいのですが、移されたあとの図形の式が、
>>円x^2+y^2=1となる場合の図形の式を求めなさいという問題ですね。
> と
>>（次の行列で与えられる一次変換によって、円に移される図形の式を求めよ、
>>なら、まだ意味がわかると思います）
> は元の問題と変換元と変換先が逆であって、このまま放置しては
> 質問者やこのスレを見ている人に誤解を与えますので
> 訂正して頂きたいと思っただけですが、訂正して頂けなくて残念です。

それはtokoroさんも誤解を招くということで既に説明していますし、変換元と変換先もはっきりしていると思います。
質問者のなんさんも、わかりました、ということなので、解決済みかと。

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