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■42626 / inTopicNo.1) 　賭け問題　漸化式を使って勝つ確率を求める
  ▼■
□投稿者/ アヤカ 一般人(1回)-(2010/09/09(Thu) 16:04:02)
    どうしても大学の課題がわかりません。
    いろいろな掲示板で質問したのですが、答えていただいたものを参考に課題を提出したら間違ってると言われてしまいました。
    よろしければ教えてください。

    お客と胴元が、次のような賭けを行う。
    １．双方が1円ずつ出す。
    ２．お客がさいころを振って、3以上の目が出たら胴元の勝ちで、それ以外の目がでたらお客の勝ちとする。
    ３．勝った方が、全額(2円)を自分のものにする。
    最初の所持金はお客がｍ円、胴元はｎ円とする。この賭けを、所持金がなくなるまで続けるとき、最終的にお客が勝つ確率を求めよ。ただし、ｋ円持っている人が最終的に勝つ確率をＰｋとし、Ｐｋの漸化式を使ってお客の勝つ確率を求めよ。

    よろしくおねがいいたします！

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■42646 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 賭け問題　漸化式を使って勝つ確率を求める
□投稿者/ miyup 大御所(1168回)-(2010/09/11(Sat) 20:44:02)
    ｍ,ｎを具体的かつ簡単な数値で解いてみることから始めないと仕方ないですね。

    2008年度の東大２次の第２問の一般化＋無限等比級数のような感じがしますが
    なかなか手こずっています（まだ解けていません） ... sorry
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■42647 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 賭け問題　漸化式を使って勝つ確率を求める
□投稿者/ らすかる 大御所(903回)-(2010/09/11(Sat) 22:23:08)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    P[0]=0
    P[k]=(2/3)P[k-1]+(1/3)P[k+1]
    P[m+n]=1
    という漸化式を立てて計算したら
    P[k]=(2^k-1)/{2^(m+n)-1}
    となり、答えは (2^m-1)/{2^(m+n)-1} と出ました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■43339 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 賭け問題　漸化式を使って勝つ確率を求める
□投稿者/ アヤカ 一般人(1回)-(2011/01/20(Thu) 14:00:13)
    2011/01/20(Thu) 14:09:44 編集(投稿者)
    2011/01/20(Thu) 14:06:36 編集(投稿者)

    すみません！
    再提出になってしまいました＞＜
    なんとかここで答えていただいたものと教科書の例題を使って途中まではといてみたのですが、答えまでたどり着けませんでした。
    例題を載せますのでわかる方いましたら再度おねがいいたします！
    わかりにくいので今回は小さい数字は[]であらわします。


    例題）
    (１)双方が１０００円ずつだす。
    (２)さいころを振って、奇数の目が出たらヤマさんの勝ちで、偶数の目が出たら、カワさんの勝ちとする。
    (３)勝ったほうが、全額(２０００円)を自分のものにする―１０００円のもうけである。
    この賭けを、所持金がなくなるまで続けると、最終的にヤマさんが勝つ(カワさんの所持金がゼロになる)確立はどれくらいか？ただし最初の所持金は、ヤマさんが３万円、カワさんが２万円とする。

    解放)
    　合計金額をＮ＝５０(千円)とおく。また、k千円持っている人が　最終的に勝つ(相手が破産する)確立　をＰ[k]とする―今の段階では、このＰ[k]は未知数である。
    　まず、１回の勝負で確立がどう変わるかは、
    　　所持金ｋ(千円)――勝つ→所持金ｋ＋１…ここから勝つ確立は、ｐ[k+1]
    　　　　　　　　　―負ける→所持金ｋ−１…ここから勝つ確立は、ｐ[k-1]
    　勝つ確立は１/２だから、
    　　　最初に勝って、それから最終的に勝つ確立
    　　＝最初に勝つ確立×そのあと(所持金が(ｋ＋１)千円で)最終的に勝つ確立
    　　＝１/２×ｐ[k+1]
    である。また、
    　　　最初に負けて、それから最終的に勝つ確立
    　　＝１/２×ｐ[k-1]
    である。最初に勝つか負けるかは｢どちらか一方しか起こらない｣(排反)だから、｢所持金ｋのヤマさんが、最終的に勝つ｣確立ｐ[k]はこれらの和で、
    　　　ｐ[k]＝１/２×ｐ[k+1]＋１/２×ｐ[k-1]　…(１)
    となる。
    　一方、所持金がなくなれば｢最終的な負け｣(もう勝てない)であるから
    　　　ｐ[0]＝０　…(２)
    　有り金を全部ものにできれば、相手は破産で｢最終的に勝ち｣であるから
    　　　ｐ[N]＝１　…(３)
    が成り立つ。(１)、(２)、(３)から、ｐ[k]の値を具体的に求めるのが、さしあたりの目標である。
    　条件式(１)は、ｐ[k]を移項すると、次の形に変形できる：
    　　　１/２ｐ[k+1]−ｐ[k]＋１/２ｐ[k-1]＝０　…(４)
    となる。
    　これで｢漸化式｣が得られたが、できれば閉じた公式がほしい。ようすを見るために、ｋ＝１、２、３、…について計算を進めてみる。まず、漸化式(４)を、計算しやすいようにｐ[k+1]以外を右辺に移項して、
    　　　ｐ[k+1]＝２ｐ[k]−ｐ[k-1]　…(５)
    の形に直しておく。ここでｋ＝１とおくと、条件(２)から
    　　　ｐ[2]＝２ｐ[1]−ｐ[0]＝２ｐ[1]−０＝２ｐ[1]
    また
    　　　ｐ[3]＝２ｐ[2]−ｐ[1]＝２×２ｐ[1]−ｐ[1]＝３ｐ[1]
    　　　ｐ[4]＝２ｐ[3]−ｐ[2]＝２×(３ｐ[1])−２ｐ[1]＝４ｐ[1]
    　　　ｐ[5]＝２ｐ[4]−ｐ[3]＝２×(４ｐ[1])−３ｐ[1]＝５ｐ[1]
    　このように、どこまでいっても
    　　　ｐ[k]＝ｋ×ｐ[1]　…(●)
    が成り立つ。実際、たとえば
    　　　ｐ[4]＝４×ｐ[1]、　ｐ[5]＝５×ｐ[1]
    のように、２つ続いて(●)が成り立っていたら、
    　　　ｐ[6]＝２ｐ[5]−ｐ[4]
    　　　　　 ＝２×５×ｐ[1]−４×ｐ[1]
    　　　　　 ＝５ｐ[1]＋５ｐ[1]−４ｐ[1]
    　　　　　 ＝６ｐ[1]
    となり、ｐ[6]でも(●)が成り立つ。それならｐ[5]とｐ[6]についても、｢(●)が２つ続けて成り立つ｣のだから、ｐ[7]についても(●)が成り立つ……というように、｢ドミノ倒し｣と同じ調子で、次から次へと｢($)が成り立つ｣ことが確かめられる。だから｢(●)がすべてのｋについて成り立つ｣ことは、当然のことといってよいだろう。
    　ここで、条件(３)を思い出すと、
    　　　ｐ(N)＝Ｎ×ｐ[1]＝１
    　したがって
    　　　ｐ[1]＝１/Ｎ
    である。これですべてのｐ[k]に対する｢閉じた公式｣が得られた：
    　　　ｐ[k]＝ｋ×ｐ[1]＝ｋ/Ｎ

    　ここからそもそもの問題の答えもわかる。
    　　　ヤマさんが最終的に勝つ確立は３０/５０である。
    　所持金ｎの場合勝つ確立はｎ/Ｎであるから、カワさんが勝つ確立は２０/５０である。だから、２人が勝つ確立の比は、次のようになる：
    　　　３０/３０＋２０：２０/３０＋２０＝３０：２０＝３：２



    どこまで書けばよいのかわからなかったので余計なものも入ってしまったかもしれませんが、あっても気にしないでください。
    この例題を使って解ける方いらっしゃいましたら本当によろしくお願いします＞＜
    　　
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