数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数列の極限と極限値 / Page: 0]

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■42620 / inTopicNo.1)

　数列の極限と極限値

□投稿者/ Math70 一般人(12回)-(2010/09/08(Wed) 17:26:30)

いつもお世話になっております。

数列の極限なんですが、 $2$ a _n = 1 + {\large \frac{1}{a _{n - 1}}}$ という漸化式で表される数列は収束し、極限値は $2$ x = 1 + {\large \frac{1}{x}}$ の解になる理由が分かりません。
教えてください。

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■42621 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限と極限値

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□投稿者/ tokoro 軍団(108回)-(2010/09/08(Wed) 18:24:16)

2010/09/09(Thu) 01:22:44 編集(投稿者)
2010/09/09(Thu) 01:21:38 編集(投稿者)

極限がそうなる理由だけ答えます。
$2$n$ が非常に大きくなると $2$a_{n}$ と $2$a_{n - 1}$ の違いがなくなるからです。
$2$a_{n}$ は収束するので、 $2$\lim_{n \to \infty} a_{n} = x$ とすれば、 $2$x = 1 + \frac{1}{x}$ を満たします。

追記

極限値は大体、 $2$x = - 0.618, \ 1.618$ となります。
これは、 $2$y = x$ と $2$y = 1 + \frac{1}{x}$ の交点として求まります。

数列が収束する理由ですが、仮に正に発散するものとすると、 $2$a_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}}$ の関係は、
$2$\lim_{n \to \infty} a_{n - 1} = \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$
$2$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n - 1}} = 0$
より、
$2$\infty = 1$
となって矛盾します。
よって、 $2$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ は、何らかの有限な値にならなくてはなりません。
極限値は２つありますが、これは初項 $2$a_{0}$ の値の与え方によります。

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■42635 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限と極限値

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□投稿者/ Math70 一般人(13回)-(2010/09/10(Fri) 20:23:08)

なるほど、ありがとうございます!

解決済み!

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