数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 全単射のつくりかた / Page: 0]

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■42581 / inTopicNo.1)

　全単射のつくりかた

□投稿者/ まり一般人(1回)-(2010/09/04(Sat) 17:40:55)

(4) 全単射写像 f : (0, 1) → [0, 1) を与えよ.
(5) 全単射写像 f : (0, 1) → (0, 1] を与えよ.
(6) 全単射写像 f : (0, 1) → [0, 1] を与えよ.
(7) 全単射写像 f : (－∞, 0) → (－∞, 0] を与えよ.
(8) 全単射写像 f : (0, ∞) → [0, ∞) を与えよ.

(4)f(1/2)=0 f(1/n)=1/(n-1) (n≧3:自然数) f(x)=x (otherwise)
(5)f(1/n)=1/(n-1) (n≧2:自然数) f(x)=x (otherwise)
(6)f(1/2)=0 f(1/n)=1/(n-2) (n≧3: 自然数) f(x)=x (otherwise)
(7)f(-n)=-n+1 (n:自然数) f(x)=x (otherwise)
(8)f(n)=n-1 (n:自然数) f(x)=x (otherwise)

どのように全単射をさがしたのかおしえてください。nをつかってる理由がわからないです。

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■42582 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 全単射のつくりかた

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(888回)-(2010/09/04(Sat) 18:18:06)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

nに具体的な値を入れてどういう写像になっているかを考えてみれば
少なくともnを使っている理由はわかるのではないでしょうか。

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■42583 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 全単射のつくりかた

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□投稿者/ まり一般人(2回)-(2010/09/04(Sat) 19:09:13)

わかりましたが、どのようのにつくればいいのかわかりません。

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■42584 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 全単射のつくりかた

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(889回)-(2010/09/04(Sat) 19:31:12)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2010/09/04(Sat) 19:33:14 編集(投稿者)

例えば(4)は「0」の分増やせば良いわけですから、
a[1]→0
a[2]→a[1]
a[3]→a[2]
・・・
のように区間内で無限に続く点列a[k]の例を一つ考えれば終わりです。
a[k]は何でも構わないのですが、少なくとも解答欄に
簡単に書けるような形式でないと困ります。
例えば
a[1]=1/2
a[2]=1/3
a[3]=2/3
a[4]=1/4
a[5]=3/4
a[6]=1/5
のようにしても理屈上は良いのですが、これだと解答を書くのが大変ですので
(4)の解答では
a[1]=1/2
a[2]=1/3
a[3]=1/4
・・・
のようにしているわけです。

なお、この解答はa[k]=1/kであり、a[0]≠0なので
a[1]→0 と a[n+1]→a[n] の場合分けが必要になっていますが、
a[1]=1/2
a[2]=2/3
a[3]=3/4
・・・
のようにすればa[0]=0となって
f(n/(n+1))=(n-1)/n (n:自然数) f(x)=x (otherwise)
という少し簡単な解答にできます。

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■42585 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 全単射のつくりかた

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□投稿者/ まり一般人(3回)-(2010/09/04(Sat) 20:41:04)

返事ありがとうございます。→の意味はなんですか？

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■42586 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 全単射のつくりかた

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□投稿者/ らすかる大御所(890回)-(2010/09/04(Sat) 21:53:50)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

問題にある→と同様の意味です。

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