 | tokoroさん大変ありがとうございました。以下のように理解しました。
z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθ の時
Ｚxを rとθの偏微分係数で表とすると、
Ｚx=(∂r/∂x)(∂z/∂r) + (∂θ/∂x)(∂z/∂θ)
①r=√(x^2+y^2) θ=tan(-1)(y/x) ← 右辺がx,y座標系なので偏微分できる。
②r=x/cosθ θ=cos(-1)(x/r) ← 右辺に座標系が混ざっているので偏微分できない。
従って、①をxについて偏微分すると
∂r/∂x = cosθ，∂θ/∂x = (-sinθ)/r となり、
Ｚx = cosθ(∂z/∂r) + ((-sinθ)/r)(∂z/∂θ)
また、別解として、
③∂z/∂r = (∂x/∂r)(Ｚx) + (∂y/∂r)(Ｚy)
④∂z/∂θ = (∂x/∂θ)(Ｚx) + (∂y/∂θ)(Ｚy)
x=rcosθ y=rsinθ より
∂x/∂r = cosθ
∂x/∂θ= -rsinθ
∂y/∂r = sinθ
∂y/∂θ= rcosθ ←すべて右辺が極座標系同士なので偏微分できる。
式③④に偏微分結果を代入してＺxとＺyについて解くと
Ｚx = cosθ(∂z/∂r) + ((-sinθ)/r)(∂z/∂θ)
Ｚy = sinθ(∂z/∂r) + ((cosθ)/r)(∂z/∂θ)
を得る。
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