数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 和の求め方 / Page: 0]

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■42545 / inTopicNo.1)

　和の求め方

□投稿者/ Math70 一般人(3回)-(2010/08/29(Sun) 11:55:42)

$2$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + (n - 1) \cdot n$ を求める問題で、

　　 $2$ \displaystyle \sum _{k = 2} ^n k (k - 1)$
$2$ = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n k (k - 1)$
$2$ = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n (k ^2 - k)$
$2$ = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n k ^2 - \sum _{k = 1} ^n k$
$2$ = {\large \frac{2 n ^3 + 3 n ^2 + n}{6}} - {\large \frac{n ^2 + n}{2}}$
$2$ = {\large \frac{2 n ^3 - 2 n}{6}}$
$2$ = {\large \frac{n ^3 - n}{3}}$

と計算したのですが、 $2$ n = 1$ のとき、和は $2$ 2$ になるはずが、この式では $2$ 0$ になってしまいます。
さらに、 $2$ n = 2$ のとき、和は $2$ 8$ になるはずが、この式では $2$ 2$ になります。
どうやら、上式は $2$ n$ の値が $2$ 1$ ずれているようなのですが、どこが間違っているのでしょうか。

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■42546 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 和の求め方

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(881回)-(2010/08/29(Sun) 12:04:16)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

間違っているのは「n=1のとき、和は2になるはず」と
「n=2のとき、和は8になるはず」というところです。
n=1 は問題の式に不適です。
n=2 のとき 1・2=2 です。
n=3 のとき 1・2+2・3=8 です。

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■42547 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 和の求め方

▲▼■

□投稿者/ Math70 一般人(4回)-(2010/08/29(Sun) 12:15:14)

あ、そこは気付きませんでした。
では、
$2$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots (n - 1) \cdot n = {\large \frac{n ^3 - n}{3}}$
でいいんでしょうか?

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■42548 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 和の求め方

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(882回)-(2010/08/29(Sun) 12:24:31)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

はい、大丈夫です。

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