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■42531 / inTopicNo.1)

　２階の偏微分について

□投稿者/ ともぞう一般人(3回)-(2010/08/27(Fri) 22:11:27)

z=f(x,y)　x=rcosθ　y=rsinθ　の時
△ｚ＝Ｚxx＋Ｚyyを rとθの偏微分係数で表す。

rとθで２回偏微分しました。
∂2z/∂r2=cos^2(θ)*Ｚxx + 2sinθcosθ*(∂2z/∂x∂y) + sin^2(θ)*Ｚyy
∂2z/∂θ2=r^2*sin^2(θ)*Ｚxx - 2r^2*sinθcosθ*(∂2z/∂x∂y) + r^2*cos^2(θ)*Ｚyy

上記２式より(∂2z/∂x∂y)を消去すると、
△ｚ＝(1/r^2)*∂2z/∂θ2 + ∂2z/∂r2 になりました。

しかし正解は　+ (1/r)*∂z/∂r が足りませんでした。
ご指導お願いします。

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■42535 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２階の偏微分について

▲▼■

□投稿者/ tokoro 付き人(98回)-(2010/08/28(Sat) 08:54:49)

2010/08/28(Sat) 08:59:59 編集(投稿者)

ここでは素直に地道に計算していくやり方で示します。（ $2$z = f(x, \ y)$ と置き換えず、そのまま $2$f$ で表します）

まず、１階微分を示します。
$2$\partial f/\partial x = (\partial r/\partial x) (\partial f/\partial r) + (\partial \theta/\partial x) (\partial f/\partial \theta)$
となりますが、
$2$(\partial r/\partial x)$ や $2$(\partial \theta/\partial x)$ を知る必要があります。
同様に、
$2$\partial f/\partial y = (\partial r/\partial y) (\partial f/\partial r) + (\partial \theta/\partial y) (\partial f/\partial \theta)$
となるので、
$2$(\partial r/\partial y)$ や $2$(\partial \theta/\partial y)$ を知る必要があります。
よって、
$2$r = \sqrt{x^2 + y^2)$ と $2$\tan \theta = (r \sin \theta)/(r \cos \theta) = y/x \ \to \ \theta = \tan ^{- 1}(y/x)$ より、
$2$\partial r/\partial x = (1/2) (x^2 + y^2)^{(-1/2)} 2 x = x/r = (r \cos \theta)/r = \cos \theta$
$2$\partial r/\partial y = (1/2) (x^2 + y^2)^{(-1/2)} 2 y = y/r = (r \sin \theta)/r = \sin \theta$
$2$\partial \theta/\partial x = (- y/x^2)/\{ 1 + (y/x)^2 \} = - y/(x^2 + y^2) = (- r \sin \theta)/r^2 = (- \sin \theta)/r$
$2$\partial \theta/\partial y = (1/x)/\{ 1 + (y/x)^2 \} = x/(x^2 + y^2) = (r \cos \theta)/r^2 = (\cos \theta)/r$
となります。
以上が１階微分の結果ですが、微分演算子について、次の関係になっていることに注意します。
$2$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} \ , \ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta}$

次に、２階微分を示します。
$2$\partial^2 f/\partial x^2 = \frac{\partial}{\partial x} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial x} \Bigr )$
となりますが、先の微分演算子の関係に注意すると、
$2$= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial x} \Bigr ) + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial x} \Bigr )$
$2$= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial f}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \Bigr ) + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial f}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \Bigr )$
$2$= \frac{\partial r}{\partial x} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \Bigr ) +$
$2$ \frac{\partial \theta}{\partial x} \Bigl ( - \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \cos \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} - \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \Bigr )$
$2$= (\cos \theta) \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \Bigr ) +$
$2$ (- \sin \theta/r) \Bigl ( - \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \cos \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} - \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \Bigr )$
となります。
同様に、
$2$\partial^2 f/\partial y^2 = \frac{\partial}{\partial y} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial y} \Bigr )$
となりますが、先の微分演算子の関係に注意すると、
$2$= \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial y} \Bigr ) + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl ( \frac{\partial f}{\partial y} \Bigr )$
$2$= \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \Bigr ) + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl ( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \Bigr )$
$2$= \frac{\partial r}{\partial y} \Bigl ( \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} - \frac{\cos \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \Bigr ) +$
$2$ \frac{\partial \theta}{\partial y} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \Bigr )$
$2$= (\sin \theta) \Bigl ( \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} - \frac{\cos \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \Bigr ) +$
$2$ (\cos \theta/r) \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial f}{\partial r} + \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \Bigr )$
となります。
あとは項同士の掛け算をして足しあわせると、
$2$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}$
となります。

足りなかったという項、 $2$\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$ は、次のように２項の和として得られます。
$2$\frac{\sin ^2 \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\cos ^2 \theta}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$

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■42555 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ２階の偏微分について

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□投稿者/ ともぞう一般人(4回)-(2010/08/30(Mon) 21:03:14)

１回目の偏微分で悩んでます。
x=rcosθ　y=rsinθ　
∂x/∂r = cosθ
∂x/∂θ= -rsinθ　
∂y/∂r = sinθ
∂y/∂θ= rcosθ
になりませんか？

ネットでも類似の質問の解答で、
Z[x] = Z[r]cos(θ)-(1/r)*Z[θ]sin(θ)
Z[x] = Z[r]/cosθ - Z[θ]/(r*sinθ)
２つが存在してます。

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■42556 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ２階の偏微分について

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□投稿者/ tokoro 軍団(101回)-(2010/08/30(Mon) 23:36:53)

またしばらくたてこむので、すぐに返答はできないかもしれませんが、確かにその計算の通りになりますね。

まず、私とともぞうさんでは、計算の進め方が最初から違います。
私の方では、 $2$\partial f/\partial x \ \to \ \partial^2 f/\partial x^2$ というように計算を進めているのですが、
ともぞうさんの方では、 $2$\partial f/\partial r \ \to \ \partial^2 f/\partial r^2$ というように計算を進めているはずです。

つまり、私の方では、
$2$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}$
$2$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}$
としているのに対し、
ともぞうさんの方では、
$2$\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial}{\partial y} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial x} + \sin \theta \frac{\partial}{\partial y}$
$2$\frac{\partial}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial y} = - r \sin \theta \frac{\partial}{\partial x} + r \cos \theta \frac{\partial}{\partial y}$
になるはずです。

ですから、２階微分では、
私の方では、
$2$\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \Bigl ( \frac{\partial}{\partial x} \Bigr )$
のように計算し、
ともぞうさんの方では、
$2$\frac{\partial^2}{\partial r^2} = \frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \frac{\partial}{\partial r} \Bigr )$
のように計算しているはずですが、ここで問題が生じているはずです。

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■42564 / inTopicNo.5)

　Re[1]: ２階の偏微分について

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□投稿者/ tokoro 軍団(103回)-(2010/09/02(Thu) 00:27:53)

2010/09/02(Thu) 06:08:30 編集(投稿者)
2010/09/02(Thu) 00:47:41 編集(投稿者)
2010/09/02(Thu) 00:35:33 編集(投稿者)
2010/09/02(Thu) 00:33:37 編集(投稿者)

２階微分については、
ともぞうさんの方では、微分演算子が、
$2$\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial}{\partial y} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial x} + \sin \theta \frac{\partial}{\partial y} \ \ , \ \ \frac{\partial}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial y} = - r \sin \theta \frac{\partial}{\partial x} + r \cos \theta \frac{\partial}{\partial y}$
であることに注意すると、
２階微分の際には、項を $2$x$ と $2$y$ で偏微分することに注意しなくてはなりません。
これは、上の微分演算子の右辺に、 $2$\frac{\partial}{\partial x}$ と $2$\frac{\partial}{\partial y}$ という項があるからです。
ですから、この微分演算子の前にかかっている $2$\cos \theta, \ \sin \theta$ などは、 $2$x, \ y$ で表しておかなくてはなりません。
これを忘れて次のように計算すると、間違いになります。
$2$\frac{\partial}{\partial r} \Bigl ( \frac{\partial}{\partial r} \Bigr ) = \cos \theta \frac{\partial}{\partial x} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial}{\partial x} + \sin \theta \frac{\partial}{\partial y} \Bigr ) + \sin \theta \frac{\partial}{\partial y} \Bigl ( \cos \theta \frac{\partial}{\partial x} + \sin \theta \frac{\partial}{\partial y} \Bigr )$
$2$ = \cos \theta \Bigl ( \frac{\partial}{\partial x} \cos \theta \Bigr ) + \cos ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \cos \theta \Bigl ( \frac{\partial}{\partial x} \sin \theta \Bigr ) + \cos \theta \sin \theta \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}$
$2$ + \sin \theta \Bigl ( \frac{\partial}{\partial y} \cos \theta \Bigr ) + \sin \theta \cos \theta \frac{\partial^2}{\partial y}{\partial x} + \sin \theta \Bigl ( \frac{\partial}{\partial y} \sin \theta \Bigr ) + \sin ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial y^2}$
$2$ = \cos ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \cos \theta \sin \theta \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + \sin \theta \cos \theta \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} + \sin ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial y^2}$
$2$ = \cos ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2 \sin \theta \cos \theta \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + \sin ^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial y^2}$
ここで、
$2$\frac{\partial}{\partial x \ or \ y} \cos \theta = 0 \ , \ \frac{\partial}{\partial x \ or \ y} \sin \theta = 0$
を使った。
ともぞうさんの最初の質問を見ると、恐らくこのように計算したのだと思います。
もう１つの $2$\frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl ( \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigr )$
についてもそうです。

元々 $2$x, \ y$ は、 $2$x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta$ だったので、逆に $2$r, \ \theta$ は $2$x, \ y$ の関数ですから、、
$2$\frac{\partial}{\partial x} \cos \theta = 0$
などとしてはなりません。

正しく計算するには、
$2$\frac{\partial}{\partial x} \cos \theta = \frac{\partial}{\partial x} \{ x (x^2 + y^2)^{(-1/2)} \} = (x^2 + y^2)^{(-1/2)} - x^2 (x^2 + y^2)^{(-3/2)}$
$2$\frac{\partial}{\partial y} \cos \theta = \frac{\partial}{\partial y} \{ x (x^2 + y^2)^{(-1/2)} \} = - x y (x^2 + y^2)^{(-3/2)}$
$2$\frac{\partial}{\partial x} \sin \theta = \frac{\partial}{\partial x} \{ y (x^2 + y^2)^{(-1/2)} \} = - x y (x^2 + y^2)^{(-3/2)}$
$2$\frac{\partial}{\partial y} \sin \theta = \frac{\partial}{\partial y} \{ y (x^2 + y^2)^{(-1/2)} \} = (x^2 + y^2)^{(-1/2)} - y^2 (x^2 + y^2)^{(-3/2)}$
のようにしなければなりません。

あとの計算はやりませんが、ともぞうさんの計算の進め方だと、もう一方のやり方に比べて、余計に手間のかかる計算になるのがわかると思います。
元々、関数 $2$f(x, \ y)$ のラプラシアンは、デカルト座標 $2$(x, \ y)$ で、
$2$\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2$
で定義されたものです。
これを極座標 $2$(r, \ \theta)$ で表すと、どうなりますか？という問題ですから、できあがっているデカルト座標の形のものを極座標に変換していく方が、まず間違いがありません。
最初から $2$r, \ \theta$ で偏微分していって、 $2$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2$ という形になるとは保証されていないので、２階の微分係数を求めれば、それで終わりということにもなりません。
結果を見ればわかるように、１階の微分係数（しかも $2$r$ の方だけ）も必要です。
つまり、元のデカルト座標のものと同じになるように整理するのにも、余計な手間がかかることになります。
この辺り、注意しなくてはなりません。

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■42568 / inTopicNo.6)

　Re[2]: ２階の偏微分について

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□投稿者/ ともぞう一般人(5回)-(2010/09/02(Thu) 18:26:20)

∂/∂x（cosθ）≠０には気づきませんでした。
ありがとうございました。

解決済み!

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