 | (2)の問題について、
y＝3・(sinθ)^2＋2・2sinθcosθと考えます。
(sinθ)^2については、三角関数の半角の公式または倍角の公式を用いることにより、(sinθ)^2＝(1−cos2θ)／2となります。
2sinθcosθについては、三角関数の倍角の公式を用いることにより、2sinθcosθ＝sin2θとなります。
これらを用いると、問題の式は、
y＝3・(1−cos2θ)／2＋2・sin2θ＝2・sin2θ−3／2・cos2θ＋3／2となります。
ここからは(1)と同様に三角関数の合成を行なうと、
2・sin2θ−3／2・cos2θ＝2・sin2θ＋(−3／2)・cos2θ＝rsin(2θ＋α)の形に表すことができ、
r, αの求め方は、直交座標平面に、点P(2, −3／2)をとって考えることにより、
r＝OP＝√{2^2＋(−3/2)^2}＝√(25/4)＝5／2
sinα＝点Pのy座標／OP＝(−3／2)／(5／2)＝−3／5, cosα＝点Pのx座標／OP＝2／(5／2)＝4／5
となります。
α＝Arctan(−3／4)と表現してもいいですが、角αの値を求めることはできません。
sinα＝−3／5, cosα＝4／5の値を踏まえると、−π／4＜α＜−π／6と考えることができます。
これらの内容より、
y＝(5／2)・sin(2θ＋α)＋3／2(ただし、0≦θ≦π, sinα＝−3／5, cosα＝4／5, −π／4＜α＜−π／6)
と表すことができます。
さらに、0≦θ≦π → 0≦2θ≦2π → α≦2θ＋α≦2π＋αとなるので、
2θ＋α＝xとおくと、
y＝(5／2)・sinx＋3／2(ただし、α≦x≦2π＋α, sinα＝−3／5, cosα＝4／5, −π／4＜α＜−π／6)となります。
区間α≦x≦2π＋αの長さは、(2π＋α)−α＝2πなので、sinxの周期2πと一致し、
sinx(ただし、α≦x≦2π＋α)の最大値, 最小値は、1周期での最大値, 最小値を考えればよいことになるので、
−1≦sinx≦1となります。
したがって、
(5／2)・−1＋3／2≦y≦(5／2)・1＋3／2 つまり、−1≦y≦4となり、
「関数yの最大値は4, 最小値は−1」となります。
この問題では、ここまでの解答でいいかと思います。
以下は、結論をもう少し丁寧に書くと、
−π／4＜α＜−π／6と考えると、−π／4＜α≦2θ＋α≦2π＋α＜11π／6となるので、
「角αはsinα＝−3／5, cosα＝4／5, −π／4＜α＜−π／6を満たす角で、
(x＝)2θ＋α＝π／2のとき、つまり、θ＝π／4−α／2のときに、最大値y＝4をとり、
(x＝)2θ＋α＝3π／2のとき、つまり、θ＝3π／4−α／2のときに、最大値y＝−1をとります。」
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