数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: ケプラーの法則? / Page: 0]

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■42510 / inTopicNo.1)

　ケプラーの法則?

□投稿者/ B-ko 一般人(1回)-(2010/08/26(Thu) 09:55:04)

次の問題を解いてみたのですがこれで正しいか見ていただけますでしょうか?

[Q] One of Kapler's three law of planetary motion states that the square of the period, P, of a body orbiting the sun is proportional to the cube of its average distance, d, from the sun. The earth has a period of 365 days and its distance from the sun is approximately 93000000 miles.
(1) Find P as a function of d.
(2) The planet Jupiter has an average distance from the sun of 483000000 miles. How long in earth days is a Jupiter year?

((1)の解)
「the square of the period, P, of a body orbiting the sun is proportional to the cube of its average distance, d, from the sun,」より
P^2=kd^3 (但し,kは定数)

((2)の解)
「The earth has a period of 365 days and its distance from the sun is approximately 93000000 miles」だから, (1)より,
3652=k・93000000, thus k≒698.06718と書ける。
従ってJupiter yearをPとすると , P^2=698.06718・483000000^3と書ける。
従って,P≒12761324157.697526747813958892904.

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■42511 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ケプラーの法則?

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□投稿者/ X 一般人(10回)-(2010/08/26(Thu) 10:47:52)

大問で地球の公転周期と太陽からの距離が与えられているので
(1)の時点でkを求めておきましょう。
但し、kの計算の際に地球の公転周期、太陽からの距離をそれぞれ２乗、３乗するのを
忘れないように。
それと地球の公転周期が365[日]、つまり有効数字3桁になっていることにも注意しましょう。

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■42520 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ケプラーの法則?

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□投稿者/ B-ko 一般人(2回)-(2010/08/27(Fri) 00:22:49)

有難うございます。

> 大問で地球の公転周期と太陽からの距離が与えられているので
> (1)の時点でkを求めておきましょう。

(1)の答えはP^2=kd^3ではなく,P^2=698.06718d^3なのですね。

> 但し、kの計算の際に地球の公転周期、太陽からの距離をそれぞれ２乗、３乗するのを
> 忘れないように。

365^2=k・93000000^3でしたね。
よってk≒1.65629ですね。

> それと地球の公転周期が365[日]、つまり有効数字3桁になっていることにも注意しましょう。

そうしますとP=√(1.65629・483000000^3)≒13661201150053.75360
≒136×10^11

が解答になるのですね。

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■42527 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ケプラーの法則?

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□投稿者/ tokoro 付き人(97回)-(2010/08/27(Fri) 18:20:01)

2010/08/27(Fri) 18:23:23 編集(投稿者)

$2$k$ は $2$1.66 \times 10^{(- 19)}$ では？

ケプラーの法則は、万有引力定数を $2$G$ 、中心天体（ここでは太陽）の質量を $2$M$ とし、
中心天体を回る物体（ここでは地球と木星）の軌道周期を $2$P$ 、中心天体と物体間の平均距離を $2$d$ とすると、
$2$P^2 = \Bigl ( \frac{4 \pi^2}{G M} \Bigr ) d^3$
と表されます。
この問題では、 $2$k = \Bigl ( \frac{4 \pi^2}{G M} \Bigr )$ となるわけです。

(1)の問題は、 $2$P$ を $2$d$ の関数として表しなさいということなので、
$2$P^2 = k \cdot d^3$
と書くだけで十分です。

(2)の問題は、木星と太陽の平均距離を与えたとき、木星の１年（太陽を１周する時間：公転周期）は地球の何日分に相当するか？ということなので、
$2$k = const. = \frac{P^2}{d^3}$
という関係から、地球の場合を元に、木星のものを求めるのもいいでしょう。
この問題では、マイルで距離が与えられていますが、木星-太陽間距離が地球-太陽間距離の何倍かを求めると、
$2$(483000000)/(93000000) = (483)/(93) = 5.19355$
となります。
よって、地球-太陽間距離を１とすると（＊）、木星の公転周期 $2$P$ は、
$2$\frac{(365)^2}{(1)^3} = \frac{P^2}{(5.19355 \times 1)^3}$
より、
$2$P^2 = (365)^2 \times (5.19355)^3 \ \ \to \ \ P = (365) \times (5.19355)^{3/2} = 4320$
となります。
これは日数ですが、約 $2$11.8$ 年になります。

問題では地球-太陽間距離を、93000000マイルで与えていますが、１マイルは約 $2$1.6$ キロメートルなので、
$2$93000000\times 1.6 = 1.488 \times 10^8$ キロメートル、
つまり、約１億５千万キロメートルということになります。

（＊）
１マイルとか１キロメートルという意味ではありません。
天体間の距離はキロメートルとかマイルで表すと、桁外れに大きな数になるので、最初から大きな数を１目盛りにするという意味です。
普通、太陽系の範囲で考える場合、地球-太陽間距離約１億５千万キロメートルを１天文単位といい、これを距離の基準にすることが多いです。

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■42536 / inTopicNo.5)

　Re[2]: ケプラーの法則?

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□投稿者/ B-ko 一般人(4回)-(2010/08/28(Sat) 10:45:50)

ご詳細なご説明大変有難うございます。

> kは1.66×10^-19では?

仰るとおりでした。 e-19と表示されてたのを見落としてました。

> P^2=(365)^2×(5.19355)^3

どうしてP=√((1.66×10^-19)×483000000^3)
としてはダメなのでしょうか?

Pの値は日数で求まりますよね
(ここらへんがいまいち分かりません)。

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■42537 / inTopicNo.6)

　Re[1]: ケプラーの法則?

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□投稿者/ tokoro 付き人(99回)-(2010/08/28(Sat) 12:00:07)

2010/08/28(Sat) 17:44:11 編集(投稿者)
2010/08/28(Sat) 12:18:03 編集(投稿者)
2010/08/28(Sat) 12:03:48 編集(投稿者)
2010/08/28(Sat) 12:01:59 編集(投稿者)

> どうしてP=√((1.66×10^-19)×483000000^3)としてはダメなのでしょうか?

私は一言もダメとは言ってませんし、このやり方が間違っているとも言ってませんよ。これで計算しても、同じ結果が得られます。
上で示したのは、別の求め方を示しただけです。
なぜそうしたのかというと、 $2$P = \sqrt{k \cdot d^3}$ の式で計算するのは、前もって $2$k$ を知る必要がありますよね。
（だから先にxさんは　(1) で $2$k$ の値も一緒に求めておきましょうと述べておられていたわけです）
ただし、この $2$k$ の値は、距離や時間の単位に何を使うかで、大きく変わってきます。
つまり、距離ならマイルを使うのかキロメートルを使うのか、時間なら日数を使うのか年を使うのかそれとも秒を使うのかで、値がいくらでも異なります。
ですから、仮にこの問題（マイルを使い日数を使う）での $2$k$ の値を覚えたとしても、あまり意味がありません。
上で示したのは、 $2$k$ を一切使わずに、中心天体が共通であれば、それを回る物体には、ケプラーの法則が等しく適用されるということで、求めるやり方です。
計算結果自体は一致するので、あなたの好きな方で計算してかまいませんよ。

それと、 $2$P$ の値が日数で求まるのが、少々よくわからないとのことですが、これは問題が先に地球の場合で $2$365$ 日と与えているからです。
最初から $2$365$ 日の代わりに $2$1$ 年と与えてあれば、次のように計算すれば木星の公転周期が求まります。
（方法１）
$2$P = \sqrt{k \cdot d^3}$ で求めるやり方：
この場合 $2$k$ の値を求めると、
$2$k = P^2/d^3 = (1)^2/(93000000)^3 = 1.24 \times 10^{(- 24)}$
となるので、
$2$P = \sqrt{1.24 \times 10^{(- 24)} \times (483000000)^3} = 11.8$
となります。

（方法２）
$2$k$ を使わず、距離を天文単位で表した場合で、周期 $2$P$ と距離 $2$d$ が完全にわかっている１つの天体のものを元に考えるやり方：
$2$\frac{(1)^2}{(1)^3} = \frac{P^2}{(5.19355 \times 1)^3}$
より、
$2$P^2 = (1)^2 \times (5.19355)^3 \ \ \to \ \ P = 1 \times (5.19355)^{3/2} = 11.8$
となって、方法１と同じになります。

補足

少し言葉を訂正しておきます。
方法２では、「 $2$k$ を使わない」というよりは、「 $2$k$ を露わに示さない・ $2$k$ の値を意識しない」というべきですね。
方法１も方法２も、やっていることはまったく同じなのですが、方法２では $2$k$ が表面上露わに現れません。
方法２では、いちいち先に独立に $2$k$ を求めることなく、意識することもなく、 $2$k$ の計算も同時にやっているのと同じことだということです。
これは次のように示せます。（ $2$P_{2}$ が未知で、これを求めるものとします）
$2$(P_{1})^2/(d_{1})^3 = (P_{2})^2/(d_{2})^3 \ \to \ (P_{2})^2 = \{ (P_{1})^2/(d_{1})^3 \} \cdot (d_{2})^3 = k \cdot (d_{2})^3$
つまり、計算が一番簡単になるのは、距離は $2$d_{1}$ の比、時間は $2$P_{1}$ の比で与え、かつ、 $2$d_{1}$ も $2$P_{1}$ も１とするような単位で考える場合です。

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■42544 / inTopicNo.7)

　Re[2]: ケプラーの法則?

▲▼■

□投稿者/ B-ko 一般人(5回)-(2010/08/29(Sun) 01:42:44)

大変有難うございます。

漸く意味が理解できました。　バッチシです。

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