数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 写像の問題 / Page: 0]

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■42501 / inTopicNo.1)

　写像の問題

□投稿者/ yamada 一般人(1回)-(2010/08/25(Wed) 22:51:45)

質問です。大学の期末考査で以下のような問題がでましたが、まったく解法をおもいつきませんでした。ご教授おねがいします。詳しく解説をつけていただければありがたいです。

写像h:X→Xに対して

h^2=h〇h,h^n=h〇h^(n-1)(n=3,4,5,…)

とおく。Xが有限集合であれば、ある自然数nとある元x∈Xが存在して、h^n(x)=xとなることを証明せよ。

〇は合成写像の記号

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■42503 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 写像の問題

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□投稿者/ NG 一般人(1回)-(2010/08/25(Wed) 23:10:04)

証明は「鳩ノ巣原理から明らか」と書くだけ

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■42504 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 写像の問題

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□投稿者/ yamada 一般人(2回)-(2010/08/25(Wed) 23:22:56)

明らかは数学的でないので不正解です。

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■42509 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 写像の問題

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□投稿者/ サボテン一般人(5回)-(2010/08/26(Thu) 08:12:24)

Xの要素の個数をNとします。
あるxに対し、
[x,h(x),h^2(x),・・・・h^N(x)]⊆X・・・①
と言う集合を考えます。
全てのa,b≦N,a≠bに対し
h^a(x)≠h^b(x)

が成り立つとすると、①の左辺は全て異なる要素であり、N+1個要素数があるので
矛盾。

よって、
あるa,b≦N, a<bに対し、
h^a(x)=h^b(x)が成り立ちます。

h^a(x)を改めて、xと書き、b-aをnと置けば、
h^n(x)=xとなります。

鳩ノ巣原理を細かく書いただけです^^

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■42517 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 写像の問題

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□投稿者/ OK 一般人(3回)-(2010/08/26(Thu) 22:28:52)

大学生なら「鳩ノ巣原理から自明」で十分正解だと思う。
むしろ自明なことを自明だと思えない方が、理解不十分だから問題。

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■42558 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 写像の問題

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□投稿者/ yamada 一般人(3回)-(2010/08/31(Tue) 15:50:56)

サボテンさんありがとうございます。

ひとつ疑問なのですが、hという写像が恒等写像である場合{x,h(x),h^2(x)…,h^n(x)}
という集合の元の個数は１つになってしまいますが、そのような可能性はどのように除去したのですかね？＾＾；
よろしくお願いします！！